直接构造出无理数，彻底解决第一次数学危机

欧几里得100、直接构造出无理数，彻底解决第一次数学危机

 

对于戴德金分割，网友“汇知园”有自己的思考。

…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…

…戴德金分割：见《欧几里得45、46》…

…汇、知、园、汇知园：见《欧几里得47》…

2019-6-29 11:15，汇知园：我觉得这部分内容，包括上确界、下确界这些东西，初中生是完全可以理解的。

…上、确、界、上界：见《欧几里得47、48》…

 

汇知园：虽然是放在大学部分，其实其内容非常容易理解。只是大学很多教材写的不是很清楚。

…大学很多教材写的不是很清楚：见《欧几里得54~99》…

（大学教材）基本都是用希腊字母做证明，而没有图示。这种确界，其实都是集合理论，而集合理论，小学生都是可以理解的。

而且，我的感觉是，如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解，因为时间不够，还要学习专业课。
（“大学时，我们慌慌张张的往前赶课…我们在慌什么呢？”一位研究生问。

“我们为何而慌？”另一位研究生问。）

…研、究、研究：见《欧几里得42》…

汇知园：所以我打算今年暑假跟孩子一起研究数学分析。

…数、学、数学，分、析、分析，数学分析：见《欧几里得49》…

 

争取初三之前，完成微积分的学习。

说实话，真的很容易！

学习就像一层窗户纸，捅破很难，一旦捅破，豁然开朗！

 

目前我遇到的窗户纸就是戴德金分割。我打算用一个月时间解决这个问题！

 

…

网友荟（huì）文苑（yuàn）就“第一次数学危机”写过教案。

…荟、苑、教案：见《欧几里得18》…

…第一次数学危机：见《欧几里得15》…

2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。

 

教案内容：…

200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。

…量、比，无、理、无理数，不可公度，欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，欧多克斯处理不可公度的办法：见《欧几里得24~34》…

“欧多克斯的新比例论，以几何量（而非自然数）作为算术的基础，仅仅是暂时解决了第一次数学危机。而戴德金分割，则是从（由自然数构造出的）有理数，直接构造出无理数，从而彻底解决了危机…”网友“思考思考的动物”说。

…有、有理、有理数：见《欧几里得25》…

 

“顺便说一下，有理数和无理数中的‘理’并不是指‘有道理’或‘讲道理’的意思，这两个词的出现是翻译的问题…”中学生说。

“在英文中，有理数和无理数分别是rational number和irrational number，而rational是一个多义词，含有‘有理的’、‘比的’两种意思。”中学生接着说，“rational numble本意是指‘可比数’，即可以写成两个整数的比的数。”

…rational（英语）：adj.理性的；合理的；理智的；明智的；清醒的

n.合理的事物；有理数；懂道理的人；人类；〈英〉合理的服装；〈牛津词典〉定量、定比…

…number：n.数字；数；数量；编号；序数；（电话、传真等的）号码…

…rational number：n.有理数…

…irrational：adj.不合逻辑的；没有道理的

n.无理数；无理性的生物…

…irrational number：n.无理数…

 

“在东方，最早把rational numble翻译过来的是一个日本人。可能那个日本人的英语不好，数学又不精通，就把它翻译成‘有理数’。而中国当时是从日本那里接触西方文化的，日本字又与汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来…”中学生继续说。

“…形成习惯，已经积重难返了。”中学生最后说。

 

“千百年来，黄金分割问题被广泛运用于几何学、建筑设计、绘画艺术、舞台艺术、音乐艺术等方面，甚至也存在于自然界中。17世纪欧洲著名科学家开普勒说过：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。”

请看下集《欧几里得101、徐光启李善兰，外项、内项、中项，比例的基本性质，黄金分割》”

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