布丰投针试验——几何概型

        18世纪，布丰提出以下问题：

        设一块含有平行且等距的木纹的地板，随意抛一枚针，求针和木纹相交的概率。

        这就是著名的布丰投针试验。

        我们将这个问题抽象为：

        一组等距平行线上任意画定长线段，求该线段与平行线相交的概率。

        为解题需要，我们需要设以下参数： 

        x：线段中心距离与之最近的直线的距离；

        θ：线段与平行线的夹角；

         l：线段长；

        d：平行线的间距。

        这里，由于投针试验为随机试验，显然有：

，且 x 为线均匀分布

，且 θ 为角均匀分布

        为方便起见，我们仅拿其中一根针来研究。

        由图可知，相交条件为：

        根据一定的非线性规划知识，这表示为下图中ABE区域的面积，而样本空间区域面积为下图中ABCD的面积。

        为了求解此题概率，我们引入几何概型。

几何概型：

        若试验只可能出现无限多种基本事件，且各种基本事件发生概率仅与构成该事件区域的长度（面积、体积）有关，则称此概率模型为几何概型。

        举一个简单的例子，用蒙特卡罗方法估算 π 的值，python 程序实现如下：

        程序运行结果如下。

        可以看到，在试验频数增加的情况下，数值逐渐向 π 逼近。

        蒙特卡罗方法求 π 的本质即为几何概型。

        如图，根据几何概型概率的定义，有：

        是不是很巧妙？

        我们回到布丰投针试验。

        由非线性规划图，我们无法比较与的大小关系，因此需要分类讨论。

    ①

        由图可知，

注：

        若取，即可得到：

        令人震惊！一个看起来仿佛与 π 没有什么关系的问题，最终结果出现了 π ！

    ②

        由图可知，直线与曲线有一交点，设交点横坐标为，两面积区域分别为区域ABCF与区域ABCD。

        我们有：

        注：，即线段非常长时线段与平行线必然有交点。

        以下是关于布丰投针试验的python程序模拟。

        测试结果较好。

后记：

        创作缘由就是数学高考紫五三下的拓展介绍。

        初次尝试，耗时较长；有所纰漏，还请原谅。