∑（xi-x平均）的平方/ σ2服从卡方分布的证明

我们先来谈谈什么是卡方分布 所谓卡方分布就是

本质就是这n个自由的独立变量都服从N（0 1）正态分布 那么他们平方和就服从自由度为n的卡方分布 要证明问题介绍

我们本质要证明两个问题 一，为什么自由度为n-1 也就是原式为何能写成n-1个相互独立变量的平方和 因为二次型化为标准型要求矩阵p可逆所以保证p满秩也就保证了标准型变量的独立性 我们可以用二次型研究这个问题 而实对称矩阵非零特征值个数等于矩阵的秩 也就是变量数目 也就是自由度和维度 我们只需要证明非0特征值个数为n-1即可 二 ，为什么服从卡方分布，（为什么期望为0）（为什么方差为1） 期望为0通过简单的系数加减就能看出用到了公式E（ax+by）＝aE（x）+bE（y）（x，y互相独立）不过这里我们才用了化为z的方法z本身每一项期望都是0所以无论如何组合期望都是0更加简单 方差为1用到了D（aX+bY）＝a方D（x）+b方D（y）（x，y互相独立的前提） 也就只需要证明n-1个平方项每个内部系数平方和为1即可 因为已知每个xi方差都为1 下面我们来看证明过程 先是预处理化为z z服从标准正态分布

证明思路就是把这个原式写成n-1个自由独立变量平方和 且每个平方内部的数系数平方和为一（保证方差为一） 系数和为0（保证期望为0）（化z后已经保证了期望为0所以不需要上述操作） N（0 1）正太分布本质就是u＝0西格玛平方等于1 也就是期望为0 方差为1的分布 我们用二次型来研究这个问题

发现非0特征值全部为1 且有n-1个1 故可以写成n-1项平方和这就有力的证明了自由度为（n-1） 然后用施密特正交化和特征向量与特征空间关系可以证明存在单位正交基构成的向量Q（其中Q＝p的转置） 用y＝Qz可以把二次型z化为标准型（规范型）y也就是y的平方和 每个yi都是zi的线性组合且系数平方和为一（单位正交基的性质）这样就完成了证明 我们来看n＝2和n等于3情况下的证明加强这个原理的理解

最后看下证明过程中的补充与分析

实际上我们发现证明核心就是算出非0特征值有n-1个而且全为一 一但又一个不是1这个结论就无法成立了比如假设我们算的特征值都是2就不服从N（0 1）了而是服从N（0 2） 以下为超级核心 实际上本题的核心就是揭秘了二次型非0特征值与方差的关系 每个二次型的特征值实际上对应了这一平方项内部变量的方差（由施密特正交化导致单位正交基矩阵Q存在性决定） 本题非0特征值全部为1 所以每一项方差都是1 每一项都服从正太分布 所以总的就服从（n-1）项卡方分布