【数学基础130】常微分方程：同济高等数学教材相关内容总结（二）
第二部分：《高等数学》上涉及的是“常微分方程”的十种常见类型——
e.类型五——
线性方程
线性方程——顾名思义，就是里面每一个含未知量x的项都是一次的。
原因在于，F（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的图像是一条直线，顾名思义，线性函数，于是形如0=ax+b就是线性方程了，这也是为什么，在常微分方程课程中，线性代数的内容依然很重要的原因。
非线性方程，往往可以采取局部分析的方法，转化为线性方程，所以线性方程可以说是微分方程的基础内容。
依然按照从简单到复杂的顺序，最简单的线性方程是一阶线性微分方程，所以我们就从这种类型开始了。
一阶线性微分方程——即只含有一阶导数的线性微分方程，形如dy/dx+P（x）y=Q（x）的微分方程。——一阶线性微分方程又分为两种——
齐次方程——Q（x）恒为0；
非齐次方程——Q（x）不恒为0。
注意：
这里的齐次方程不要和之前的齐次方程混淆，是两个完全不同概念；
非齐次方程的解可由齐次方程的解获得，所以先解决齐次方程的解即可。
一阶齐次线性方程的通解——
dy/dx+P（x）y=0，可得到dy/y=-P（x）dx——变量分离的方程，两边取积分；
ln |y|=-∫ P（x）dx+C1，即y=Ce^（-∫ P（x）dx）——其中C的取值取决于C1，C=e^C1或C=-e^C1。
注意——绿字部分的解是要背下来的。
一阶非齐次线性方程的通解——常数变易法：利用齐次方程的通解y=Ce^（-∫ P（x）dx）——（重点！！！）——
方程形如dy/dx+P（x）y=Q（x），其中Q（x）不恒为0；
将齐次方程通解中C换成未知函数u（x），即y=ue^（-∫ P（x）dx）；
由2得dy/dx=u'e^（-∫ P（x）dx）-uP（x）e^（-∫ P（x）dx）；
将2、3代入1，得dy/dx+P（x）y=[u‘e^（-∫ P（x）dx）-uP（x）e^（-∫ P（x）dx）]+P（x）ue^（-∫ P（x）dx）=Q（x）；——注意到绿色部分可以消去；
由4解出u（x）——
u‘e^（-∫ P（x）dx）=Q（x），u'=Q（x）e^（∫ P（x）dx），
u=∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx+C；
将5代入2中，y=e^（-∫ P（x）dx）（∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx+C）；
将6中式子改写得到，y=Ce^（-∫ P（x）dx）+[e^（-∫ P（x）dx）]（∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx）；
注意：
1.第一项（红色部分），为齐次线性方程的通解；
2.第二项（绿色部分），为非齐次线性方程的一个特解（C=0时）。
注意：这个解是要背下来的，不然做题就麻烦太多了，而且，记住这个形式，对解决一些问题的切入点也很重要。
f.类型六——
伯努利方程
我们来聊一种可以转化为一阶线性微分方程的一阶非线性微分方程——伯努利方程。
伯努利方程——形如dy/dx+P（x）y=Q（x）y^n的微分方程——其中n不为0、1。
解法——
做一个简单的变换我们就可以把它转化为一阶线性微分方程——两边同时除以y^n，将方程变形为——[y^（-n）]dy/dx+P（x）[y^（1-n）]=Q（x）；
令z=y^（1-n），dz/dx=[（1-n）y^（-n）]（dy/dx），[y^（-n）]dy/dx=[1/（1-n）]dz/dx；
将2中各式代入1，得到——[1/（1-n）]dz/dx+P（x）z=Q（x）；
将3中式子乘以（1-n），得到——dz/dx+（1-n）P（x）z=（1-n）Q（x）；
第4步所得式子即为关于x的函数z的一阶线性微分微分方程，我们按照解一阶线性微分方程的方法接出z，y=z^[1/（1-n）]。
这就是伯努利方程的解法。
g.类型七——
形如y^（n）=f（x）的微分方程
高数中接触到的高阶线性微分方程通通可以化成一阶线性微分方程，第一种可降阶为一阶线性微分方程的高阶线性微分方程——形如y^（n）=f（x）的微分方程，其中^（n）表示上标，而非指数，y^（n）指y的n阶导数。
解法——将f（x）积分n次即可得目标函数y，通解中含有n个任意常数。
h.类型八——
形如y''=f（x，y'）的微分方程
第二种可降阶为一阶线性微分方程的高阶线性微分方程——形如y''=f（x，y'）的微分方程。
解法——
令y'=p，所以y''=p'；
原方程化为p'=f（x，p）——化为了一个关于x、p的一阶微分方程；
我们解出p，再对p进行积分即可。
i.类型九——
形如y''=f（y，y'）的微分方程
第三种可降阶为一阶线性微分方程的高阶线性微分方程——形如y''=f（y，y'）的微分方程。
解法——
令y'=p；
利用复合函数的求导法则：y''=dp/dx=（dp/dy）（dy/dx）=y'（dp/dy）=p（dp/dy）；
将y'，y"代入原式，p（dp/dy）=f（y，p）——关于y、p的一阶线性微分方程；
按照一阶线性微分方程解即可。
例子，解方程yy"-y'^2=0——
令y'=p；
利用复合函数的求导法则：y''=dp/dx=（dp/dy）（dy/dx）=y'（dp/dy）=p（dp/dy）；
将y'，y"代入原式，yp（dp/dy）-p^2=0，即yp（dp/dy）=p^2，则y（dp/dy）=p；
由3，dp/p=dy/y，两边积分，ln |p|=ln |y|+C=ln e^C|y|；
由4，p=C1y——C1=e^C或-e^C，即y'=C1y，dy/dx==C1y；
由5，dy/y=C1dx，两边积分，（ln |y|）=C1x+C'2，y=C2e^（C1x）——C2=e^C'2或-e^C'2。
类型十：
二阶线性微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。
——二阶线性微分方程又分为两种——
齐次方程——f（x）恒为0；
非齐次方程——f（x）不恒为0。
注意：
这里的齐次方程不要和之前的齐次方程混淆，是两个完全不同概念；
方法依然是常数变易法，但是二阶方程涉及到通解个数的问题，所以要先讨论解的结构：即解空间的内容。
涉及四个定理——
其中前两个定理关于二阶齐次线性方程，后两个定理关于二阶非齐次线性方程——
如果函数y1（x）与y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的两个解，那么y=C1y1（x）+C2y2（x）也是该方程的解，其中C1与C2是任意常数；
如果函数y1（x）与y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的两个线性无关的特解，那么y=C1y1（x）+C2y2（x）就是该方程的通解，其中C1与C2是任意常数；
设y*（x）是二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一个特解，Y(x)是该方程对应的齐次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二阶非齐次线性微分方程的通解；
设二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是两个函数之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）与y*2（x）分别是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）与y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——线性微分方程的叠加原理。
先到这里！
