引言

19～20世纪之交，欧洲是世界的政治和经济中心，第一次世界大战在这里爆发.同时，欧洲也是世界的数学中心.1900年，D．希尔伯特的演说提出了“23个数学问题”，1905年和1912年爱因斯坦先后发表狭义和广义相对论，表明德国正在领导数理科学的新潮流.

庞加莱之后的法国数学，渐渐缩为“函数论王国”；英国则以硬分析著称；印度数学天才拉马努金像流星掠过天空.

数学哲学论战和数理统计学的诞生，影响整个20世纪．

1918年，德国在第一次世界大战中战败，但是她的数学传统仍然在世界称雄.

1：19世纪末年的世界数学

数学历史发展的后浪推前浪，不停地向前奔去．17世纪的英国资产阶级革命，把查理一世国王送上了断头台，牛顿（Isaac Newton，1642～1727）的微积分思想随即诞生在英伦三岛上．资本主义的生产方式带来了18世纪法国大革命，数学的中心也移到了法国．拉格朗日（Joseph Louis Comte de Lagrange，1736～1813）、拉普拉斯（Pierre-Simon Marquis de Laplace，1749～1827）、勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752～1833）、蒙日（Gaspard Monge；1746～1818）都是一代数学权威．1794年诞生的法国综合技术学校，成为19世纪初的世界数学中心．傅里叶（Jean Baptiste JosephFourier，1768～1830）的调和分析，柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789～1857）的分析学是其中的代表．他们的影响一直持续到今天．进入19世纪中叶，德国的格丁根大学崛起，数学王子高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855）称雄世界．只活了40岁的黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826～1866）为人类留下了无数的数学珍品.法国、德国在数学上争雄的局面贯穿了整个19世纪．清代学者赵翼（1721～1814）有“江山代有才人出，各领风骚数百年”的诗句.在近代数学史上，领先数百年是不可能的，夺取几十年的霸主地位已经很不容易了.

人们经常提到19世纪上半叶的数学思想革命．伽罗瓦（EvaristeGalois，1811～1832）的群论，罗巴切夫斯基（Nikolai IvanovichLobachevsky，1792～1856）的非欧几何学，柯西的复变函数论，为人们打开了全新的天地.如果说在此以前的数学还或多或少依赖于物理学和工程学，那么这时的数学已经完全独立出来，数学的研究对象更加抽象化，数学的意境充满了文化创造精神.继复数获得广泛承认之后，1853年哈密顿（William Rowan Hamilton，1805～1865）发现四元数．“数学是人类思想的自由创造”的观念开始传播，纯粹数学和应用数学的分野逐渐显露.

另一方面，数学在认识现实世界的征程中不断取得伟大成就.1846年，英国的亚当斯（John Couch Adams，1819～1892）和法国的勒威耶（Urbain Jean Joseph Le Verrier，1811～1877）分别独立地用数学方法计算出海王星的轨道，预测了这颗行星的发现.高斯在大地测量中发展了微分几何学.傅里叶分析推动了热力学以及振动理论.更重要的是英国的强大应用数学传统继续大放异彩.哈密顿的最小作用原理给力学以新的面貌，而麦克斯韦（James ClerkMaxwell，1831～1879）于1864年发表的电磁学方程，更是人类运用数学研究自然规律的又一里程碑.

进入19世纪后期，德国的国家实力陡增．在1870～1871年的普（德）法战争中，巴黎陷落，拿破仑三世被俘.在数学上，德国提出了明确的目标，要谋求世界领先地位.执行这一使命的是克莱因(Christian Felix Klein, 1849~1925).

克莱因出身于德国中产阶级家庭.1865年进入波恩大学，受到著名学者普吕克（Julius Plucker， 1801～1868）的影响，开始研究几何学．1869年来到格丁根大学工作，并周游欧洲诸国．1872年，到埃尔朗根大学就任正教授，并在大学评议会上发表《新近儿何学研究的比较考察》的演讲，用运动群下的不变量来对几何学进行分类，这就是著名的埃尔朗根纲领.这一几何学上划时代的工作，在此后的50年内一直处于几何研究的中心地位.

1886年春，克莱因就任格丁根大学教授．虽然继续从事数学研究，但更多进行行政组织、数学教育、国际交流等方面的活动.他的目标是把格丁根大学建成世界第一流的数学中心．10年之后，努力开始成功．1895年初，大数学家希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）来到格丁根，克莱因本人则被授予枢密顾问官职务，格丁根大学的学术地位陡然升高．1902年，闵科夫斯基（Hermann Minkowski，1864～1909）也来到这里．这三架马车，终于把格丁根大学建成20世纪初期的世界数学中心．其中，克莱因是当然的领袖.克莱因晚年关注应用数学和数学教育，开创了世界第一流数学家关心中小学数学教育改革的先例，影响深远.

19世纪后期，除了学术地位不断上升的格丁根大学之外，柏林大学是当然的数学中心.先是狄利克雷（Gustav Peter LejeuneDirichlet，1805～1859）在该校工作了27年，赢得了很高的数学声誉．1854年，他去格丁根大学接替去世的高斯．柏林大学的数学教席，则由库默尔（Ernst Eduard Kummer，1810～1893）、魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815～1897）和克罗内克（Leopold Kronecker，1823～1891）三位名家先后承担．库默尔长期担任柏林大学的校长，以“理想数”的工作成为现代代数数论的先驱.克罗内克在代数学、数论、椭圆函数论方面成就卓著，并有非常广泛的社会和学术联系，被称为德国数学的无冕之王.不过：对后世影响更大的则应是魏尔斯特拉斯.

魏尔斯特拉斯出身于一个政府官员家庭.父亲叫他到波恩大学攻读法学博士学位.由于不喜欢，他未毕业就离开了.后来在一所神学哲学院读数学，通过中学教师资格的国家考试以后，曾任中学教师达15年之久．期间他发表椭圆函数论的重要文章，被破格授予哥尼斯堡大学名誉博士学位．1856年到柏林皇家综合工科学校任数学教授，次年到柏林大学任副教授，1864年升任正教授．1873年出任柏林大学校长，成为左右德国数学界的一位领袖人物．这种声誉，不仅因为他是校长、教授、许多论文的作者，更主要的是他的学术风格．魏尔斯特拉斯是19世纪末分析严格化进程的代表人物，反映了那个时代和20世纪整个数学严谨性的潮流．他首先给出严密的实数理论，第一个明确地使用ε-δ语言，引进有界集、无界集、集的内点、外点、极限点、连通性等概念，特别是运用一致收敛的概念得出极限交换的定理.这一切，对今天的数学系大学生而言，似乎是理所当然的事.ε-δ语言的精髓已经渗入现代数学的每一根血管，牵动着每一根神经，追根溯源，魏尔斯特拉斯做出了高于一切的贡献.希尔伯特认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础.通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等的各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难·····今天，分析学能达到这样和谐、可靠和完美的程度······本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动.”［1］魏尔斯特拉斯终身未婚，他的两个妹妹也未出嫁，她们一起照料魏尔斯特拉斯的生活，共度人生.

另一位为数学分析严密化作出重要贡献，而且也是终身未娶的德国数学家是戴德金（Julius Wilhelm Richard Dede-kind，1831～1916）．他以有理数的“分割”定义实数，对实数的连续性给出了严密而直观的叙述.同时，戴德金也奠定了代数数论的系统理论.不过，戴德金只是不伦瑞克大学的一名教授，在社会影响上自然不及魏尔斯特拉斯了.

对20世纪数学影响深远的另一位德国数学家是康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor， 1845～1918）．他所创立的集合论成为20世纪数学的基础．集合论涉及对“无限”的理解和处理，从可数集、不可数集、超限数集等等，打开了一个个新的领域.它的成功标志着人的思维能力的一次飞跃.另一方面，每一门严密的数学学科往往都要用集合的语言开始描述.集合论的悖论导致了数学基础的论战，人类思维的极限受到了集合论思想的严重挑战.集合语言甚至渗人到中小学生的数学课本，成为当今人们相互交流的工具；一门数学学科，从来没有像集合论那样会影响到普通百姓的日常语言.正因为如此，康托尔也成为数学史上最富想象力，同时也是最有争议的一位数学家.

康托尔出生于俄国的圣彼得堡，14岁时移居德国．1866年，他在柏林大学获得博士学位，在数学思想上，受到魏尔斯特拉斯的多方面影响．1869年，康托尔在哈雷大学谋得教职.这是一所很小的不大出名的大学.此前他的研究工作涉及数论和二次型等代数问题，并不引人注意．1871年前后，他在研究傅里叶级数唯一性时，发现除去某种无穷点集之外，一个函数的

傅里叶级数若能处处收敛于零，则这一函数恒为零，这种点集的性质，使康托尔注意到研究“集合”的重要性.

1874年，29岁的康托尔在德国著名的《克雷尔数学杂志》（Crelles Journal für Mathcmatik）上发表《关于一切代数实数的一个性质》的论文，首次提出超穷集合理论，引起人们的注意.1895～1897年间，康托尔发表《超限数理论基础》共两卷，对他以前的有关论文作了总结.

康托尔的工作虽然如此重要，但他的遭遇却是不幸的.哈雷大学教授的工资相当微薄，全家的经济状况很不好.到柏林去找一份收入高的工作，曾是他的一个迫切愿望.在柏林大学毕业的康托尔，却无法在柏林立足.原因很简单：柏林大学数学教授克罗内克极力反对.克罗内克虽然并非校长或官员，却因社会声望和广泛交际被认为拥有无限的权力.他的数学哲学是想把一切都算术化，只承认数列那样的“潜无限”，否认“实无限”的存在.这些观点和魏尔斯特拉斯的观点相左.他宣称要“找出现有分析学赖以存在的一切结论之错误”．1888年，魏尔斯特拉斯向朋友们宣布将和克罗内克断交.这对像魏尔斯特拉斯那样的柏林大学校长而言，不过是不交往而已.但大权威克罗内克对小人物康托尔的批判，阻止康托尔到柏林工作，散布对超限数理论的怀疑，对康托尔不啻是一种毁灭性的打击.在克罗内克看来，康托尔乃是错误地追随魏尔斯特拉斯的一名后学.克罗内克贵族式的孤傲没有得到多数人的支持，但这种伤害足以使情绪低落的康托尔在1884年患上忧郁症，经常要发病．到了1899年，集合论的悖论在他头脑里萦绕，旧病再次复发，住进了医院.以后的一二十年中，他断续地在哈雷大学精神病院中度过，并在那里离开人世.

1926年，希尔伯特称赞康托尔的超限数理论是“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最精美的成果”，［2］苏联的柯尔莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903～1987）则说：“康托尔的不朽功绩，在他敢于向无穷大冒险挺进，他对似是而非的论点、流行的成见、哲学的教条等作了长期的不懈的斗争.因此，他成为一门学科的创造者，而这门学科已成了整个数学的基础．”［3］

在德国学派影响之下，挪威数学家索福斯·李（Marius SophusLie，1842～1899）创立了李群和李代数理论．20世纪，几乎所有的数学学科都和李群发生联系.李曾在莱比锡大学任教授，对欧洲各国的数学产生了很大的影响.

自牛顿以来，英国数学一向偏重应用，19世纪仍然保持着这一传统．但在19世纪的下半叶，纯粹数学出现了两颗明星：西尔维斯特（James Joseph Sylvester，1814～1897）和凯莱（Arthur Cayley，1821～1895）．他们两人都是攻读数学出身，于19世纪50年代进人法学界，担任过多年的律师，并因志趣相投成为终生好友.此后又双双回到数学研究，共同发展代数不变量理论，特别是线性代数中的行列式和矩阵理论．这些工作在20世纪变得十分重要而普及．包括哈密顿发表的四元数工作在内，他们在代数学上的贡献，形成了英国纯粹数学的一次高潮.值得一提的是，西尔维斯特是美国纯粹数学的奠基人之一. 他在美国约翰·霍普金斯大学任教授多年，创办了美国第一份数学杂志:《美国数学杂志》(American Journalof Mathematics).凯莱也曾到该校讲学.

　　19世纪的俄国，开始有了自己的数学研究. 罗巴切夫斯基的工作自然引起国际瞩目,切比雪夫(Pafnuty Ljvovich Chebyshev,1821~1894)在概率论上的研究也别开生面. 但在整体实力上无法和西欧各国相比.至于东方的印度、日本和中国，数学水平落后于西方约有200年，现代数学研究则是20世纪的事了.

　　19世纪下半叶，能和德国数学相抗衡的只有以庞加莱为代表的法国数学，我们将在下一节叙述.

参考文献

[1] 沈永欢.魏尔斯特拉斯.见： 吴文俊主编. 世界著名数学家传记(下集). 北京:科学出版社, 1995. 965

[2] Hilbert D. Über das Unendliche Mathematische Annalen. 1926,95:161~190

[3]李娜、张锦文. 康托尔.见： 吴文俊主编. 世界著名数学家传记(下集).北京: 科学出版社, 1995. 1117