《几何原本》命题2.4【夸克欧氏几何】

命题2.4：

如果任意两分一个线段，那么该线段上的正方形等于两小线段上的正方形与两个两小线段构成的矩形之和

已知：线段AB，点C在AB上

求证：S正方形AB2=S正方形AC2+S正方形BC2+2S矩形AC×BC

解：

在AB上作正方形AB×AD

（命题1.46）

连接BD

（公设1.1）

过点C作CF∥AD或BE，与BD交点记为点G

（命题1.31）

过点G作HK∥AB或DE

（命题1.31）

证：

∵CF∥AD

（已知）

∴∠CGB=∠ADB

（命题1.29）

∵正方形AB2中AB=AD

（定义1.22）

∴∠ADB=∠ABD

（命题1.5）

∴∠CGB=∠ABD

（公理1.1）

∴BC=CG

（命题1.6）

∵HK∥AB，CF∥BE

（已知）

∴四边形CGKB是平行四边形

（定义1.22）

∴BC=GK，CG=BK

（命题1.34）

∴▱CGKB是菱形

（定义1.22）

∵CF∥BE

（已知）

∴∠KBC+∠GCB=两直角

（命题1.29）

∵正方形AB×AD中，∟KBC是直角

（定义1.22）

∴∠GCB是直角

（公理1.3）

∴∠CGK，∠GKB也是直角

（命题1.34）

∴菱形CGKB是正方形，即正方形BC2

（定义1.22）

同理可证四边形DHGF也是正方形，即正方形GH2

∵▱ACGH中，AC=GH

（命题1.34）

∴S正方形GH2=S正方形AC2

（公理1.1）

∵BC=CG

（已知）

∴S矩形AC×CG=S矩形AC×BC

（公理1.1）

∵CG=GK，GH=FG

（已知）

∴S矩形GK×FG=S矩形AC×BC

（公理1.1）

∵S正方形AB2=S正方形GH2+S正方形BC2+S矩形AC×CG+S矩形GK×FG

（已知）

∴S正方形AB2=S正方形AC2+S正方形BC2+2S矩形AC×BC

证毕

此命题将在命题2.12中被使用