【自学课堂】集合论（1）

0:={}

1:={0}

2:={0, 1}

.......

N:={0, 1, 2, ... }

(b) "For every Y ∈ X, there is Z such that Z ∈ X and Z ∈ Y."

(∀Y∈X)(∃Z)(Z∈X∧Z∈Y)

X的一个可能的解为

X∈ {{},{{{}}},{{{{}}}},...}

"For every X, there is Y ∈ X."

(∀X)(∃Y)(Y ∈ X)

翻译翻译

"所有的X都有Y使得Y ∈ X"

真的吗？

假的。因为当X={}的时候就没有一个Y ∈ X。换句话说，并不是“所有的X”都能这样。

要推翻一个全称命题只要举出一个反例就行。所以推翻全称命题是最简单的，所以尽量不要很快的，不加充分考察的就把话说满说死。

2.5

X⊆Y := "X is a subst of Y."

⇔ "every element of X is an element of Y"

⇔ (∀a∈X)(a∈Y)

⇔ "所有X里的东西都是Y里的东西"

⇔ “但凡X里有的Y里都有”

P(X):="There exists no Y ∈ X ."

⇔ ¬(∃Y)(Y∈X)

⇔ (∀Y)(Y∉X)

⇔ X={}

请翻译这句话 It is clear that mathematics without definitions would be possible, but exceedingly clumsy.

GPT云：

这句话的意思是：没有定义的数学也是可能的，但是非常笨拙。

Q(X,Y,Z):="For every U, U ∈ Z if and only if U ∈ X and U ∈ Y."

⇔(∀U)(U∈Z↔(U∈X∧U∈Y))

⇔"Z里有的东西X里有，Y里也有；X里有，Y里也有的东西Z里就有。"

⇔“Z是X和Y的交集”

⇔Z=X∩Y

在第3节中将证明集之交存在且唯一。

符号化看上去很高大上似的，其实只是个起手式，很机械且没什么讲究的。所需要的符号也就这么几个。证明才是真正练脑子养成创造性思维和构造能力的事情。哪怕只是一个很基础很简单的证明，去完成祂还是有用的。

小杠铃也杠铃。

附录

集合符号：

∅ (空集符号)：U+2205

∈ (属于符号)：U+2208

∉ (不属于符号)：U+2209

⊆ (包含于符号)：U+2286

⊂ (真包含于符号)：U+2282

∩ (交集符号)：U+2229

∪ (并集符号)：U+222A

∁ (补集符号)：U+ complement

逻辑符号：

¬ (非符号)：U+00AC

∧ (合取符号)：U+2227

∨ (析取符号)：U+2228

→ (蕴含符号)：U+2192

↔ (等价符号)：U+2194

⊥ (矛盾符号)：U+22A5

⊤ (恒真符号)：U+22A4

这里只列出了一些常见的符号，如果需要更全面的符号列表，可以查看 Unicode 官方网站的符号表。

集合论和数理逻辑中常用的全称量词和存在量词的符号如下：

全称量词：

∀ (全称量词，表示“对于所有的”）： U+2200

存在量词：

∃ (存在量词，表示“存在一个”）：U+2203

类似于<=> 而不是 <->

我理解你的意思了。你可能在表示「当且仅当」时常常使用的符号是 <=>，即两条加粗的箭头，而不是单向箭头 <->。那么，我需要跟你说的是，Unicode 中没有名为“当且仅当”或“等价于”的独立符号，但你可以通过组合已有符号实现类似效果。

一种方式是将 ↔ 和 = 符号组合，表示“等价于”或“当且仅当”。这个组合符号一般写作 ≡，即三个水平线段。Unicode 中该符号的编码为 U+2261。

另一种方式是将 ⇔ 和 = 符号组合，表示“等价于”。这个组合符号一般写作 ⇔，即一条左右双向箭头。Unicode 中该符号的编码为 U+21D4。

值得一提的是，不同的领域和教材可能使用不同的符号来表示“当且仅当”，比如有的教材使用双向箭头（<->），有的则使用等价符号（≡或⇔）。所以具体使用什么符号最好还是参考文献或者约定俗成的写法。