蒙特卡洛光线追踪基础 - 渲染方程与概率密度函数
欢迎来到我的专栏。经过前面几次杂谈瞎掰之后，我又想回来写点偏技术的东西了。
这里，我想使用极短的篇幅来介绍一下我们现在做光线追踪的一些技巧。希望对您有用。
现在这个年代，您应该多少对光线追踪和全局光照有所耳闻。没错，当前的计算机实现全局光照最准确的方法就是光线追踪。
而我们现在所指的光线追踪实际上是路径跟踪（Path Tracing），它是建立于 1986 年 James Kajiya 老先生所提出伟大的 “渲染方程（The Rendering Equation）” 的基础上的。
并且，渲染方程从 1986 年指导了整个渲染领域至今。我们现在做的一切工作都是为了逼近或者直接求解渲染方程，以此达到照片级真实感。（不过令琪老师他们的波光体系的论文最近也发了，估计不久以后图形学光传输理论领域也要变天了）
最早比较完备的光线追踪着色算法实际上是 Turner Whitted 于 1979 年提出的经典递归光线追踪模型（Whitted-Style Raytracing）。
Turner Whitted 仍健在，并且现在正在 NVIDIA Research 任职！
经过了这十几年通用算力不断膨胀，实时光线追踪也开始逐渐成为了热门话题。然而，目前的 GPU 算力仅仅只能支撑起我们做很小一部分的光线追踪，每一次发射光线我们都不能保证完全得到想要的信息。
无论是实时游戏里的还是离线渲染器里的光线追踪，本质上它们都是一个东西。只不过是采样率上存在差别。
好了，历史课上完了。接下来的东西就有点头疼了哦。
首先，
这个图形象地概括了渲染方程地核心思想。其实它还可以用 来概括，意思是从光线到摄像机，光线在传播途中可以进行多次的 Diffuse 和 Specular 的反弹。
为了方便，这里稍微省略一下括号内的自变量（不代表它们不存在），则每条光线的能量传输都可以写成：
至于整个半球空间内，一个点接受到四面八方来的所有光线的累积就是：
不过这只是反射的出射光线。加上自发光的话，则是：
为了统一和舒服起见，以后我们都使用以下形式的渲染方程：
其中：
是最终出射光
是自发光
是双向反射分布函数（BRDF），它决定光线从某种特定表面弹射出去时会具有的一些特性（例如法线的分布），它同时是基于物理渲染（PBR）的基础
是入射光，也是上一个弹射点的最终的出射光
是入射光和法向量夹角的余弦值，并且
就是反射的其它地方来的光，半球空间用
表示
注意，渲染方程里光是规定了具体辐射能量单位的，即现实中的瓦特每平方米，这也体现出了它的物理准确性。而不像传统局部光照模型（例如 Blinn-Phong）那样只有一个笼统的，经验性的 “光强” 概念。
以上就是关于渲染方程的一些东西了。所以我们就得到了一个具体的方针——想要得到照片级画质，就求解渲染方程。
然而我们去看看渲染方程的形式，它是一个标准的积分方程。我们要如何在计算机上用数值方法去求解那么大坨定积分呢？
我们以这个定积分举例：
我们知道，这个蓝色曲边梯形的面积为：
这定积分本质上就是一个极限嘛，当然我们可以把等式右边稍微变个型，也就是
诶，不知道你发现没有，上面那张图上面的 是均匀分布的，其实这样的法则反映到我们这里就是均匀采样（Uniform Sampling）。
而 想要表达的正是通过随机均匀采样来求得蓝色曲边梯形的面积。而这样随机采样来求解积分结果的方法也叫“蒙特卡洛方法”（Monte Carlo Method），这样的积分我们也叫它“蒙特卡洛积分”。
然而你也发现了，如果要收敛到正确结果，那么我们得做无限次的采样（），这对于计算机来说显然不现实，何况我们这些做渲染的追求质量的同时的可不就是追求一个快。所以我们为了速度，一般都是大大降低了采样次数的。
在上述的 中，我们把
称作均匀采样的“概率密度函数”(Probability Destiny Function, PDF) ，所以还可以表示为
以后看到 PDF 就不要只想成文档咯 (～￣▽￣)～
所以，哈哈，我们得到了一种船新的利用概率密度函数来求积分的数值方法（虽然结果不一定收敛）
然而，均匀采样对于我们做全局光照的来说，缺点是很大的。例如，在部分信号强烈的地方和信号弱的地方做了同样的采样，这样一来效果就差了。比如下图所示的，均匀采样比余弦权重的采样噪点更多，因为根据下图余弦波瓣所示图象的特点，球顶分布的采样会比底下的更密集。
所以，使用合适的 PDF，可以更加逼近正确值。我们这里就引入一种很重要的采样方式：重要性采样（Importance Sampling）
看名字我们就知道了，这是根据重要性来进行采样，哪一部分需要集中采样，哪一部分不太需要，就是根据 PDF 决定的。这样我们可以得到比均匀采样准确得多的结果。
常见的 PDF 有 ，也有我们熟悉的老常客 GGX 分布函数，了解 PBR 的人都知道它很适合做 Specular。
您看，像 GGX 这类概率密度分布就和余弦波瓣的就不一样，我们明显能感受到 GGX 要更急，它就可以很好地做金属表面的效果。
不过，我们不能抓住一个 PDF 不放，最重要的是根据需求而选择合适的 PDF。归根结底，做渲染也是一个做 Sampling 的过程，我们一定要选择合适的采样法则，这样才能更好地逼近于正确值，实现照片级渲染。
谢谢大家看到这里！
