【数学基础Ep13】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
stolz公式——
对于*/∞型的数列xn/yn，其中——
存在自然数N"，使得n>N"时，yn是单增数列，即，yn+1>yn；
在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]为有限值或趋向于无穷的情况下；
公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]成立。
两向量垂直充要条件：内积为0。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0.——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|。
参考资料：
《数学分析教程》（常庚哲 史济怀 编）
《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析教程（常庚哲 史济怀 编）》）——
计算数列极限：
a.lim [1+1/2^（1/2）+……+1/n^（1/2）]/n^（1/2）
b.lim [1+2^（1/2）+……+n^（1/2）]/n^（3/2）
解——
a.
分母为单增数列，则根据stolz公式：
lim [1+1/2^（1/2）+……+1/n^（1/2）]/n^（1/2）
=lim[1/n^（1/2）]/[n^（1/2）-（n-1）^（1/2）]
=lim{[1/n^（1/2）][n^（1/2）+（n-1）^（1/2）]}/{[n^（1/2）-（n-1）^（1/2）][n^（1/2）+（n-1）^（1/2）]}
=lim[1/n^（1/2）][n^（1/2）+（n-1）^（1/2）]
=lim [1+（1-1/n）^（1/2）]
=1+lim（1-1/n）^（1/2）
=1+1=2
b.
分母为单增数列，则根据stolz公式：
lim [1+2^（1/2）+……+n^（1/2）]/n^（3/2）
=lim[n^（1/2）]/[n^（3/2）-（n-1）^（3/2）]
=lim{[n^（1/2）][n^（3/2）+（n-1）^（3/2）]}/{[n^（3/2）-（n-1）^（3/2）][n^（3/2）+（n-1）^（3/2）]}
=lim{n^2+（n-1）*[n（n-1）]^（1/2）}/[n^3-（n-1）^3]
=lim[n^2+（n-1）*(n^2-n)^（1/2）]/（3n^2-3n+1）
=lim n^2/（3n^2-3n+1）+lim[（n-1）*(n^2-n)^（1/2）]/（3n^2-3n+1）
=lim 1/（3-3/n+1/n^2）+lim[（1-1/n）*（1-1/n）^（1/2）]/（3-3/n+1/n^2）
=1/3+1/3=2/3
解析几何——
例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——
已知三个非零向量a，b，c，求证向量a分别与下列两个向量垂直：
a.b（ac）-c（ab）
b.b-a（ab）/a^2
解：记向量a，b夹角为∠1，向量a，c夹角为∠2——
a.
a[b（ac）-c（ab）]
=|a||b|cos∠1*|a||c|cos∠2-|a||c|cos∠2*a||b|cos∠1
=0，证毕。
b.
a[b-a（ab）/a^2]
=|a||b|cos∠1-[（|a|^2）（|a||b|cos∠1）]/（|a|^2）
=0，证毕。
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A.
证：
因为AB=E，所以|AB|=|E|。从而|A||B|=1，所以|A|不为0，|B|不为0。于是A，B都可逆。
左乘A^（-1）：A^（-1）AB=A^（-1）E，则B=A^（-1），同理，A=B^（-1）.
就到这里。
