几个概率不等式(七) -Chernoff_bounds另外一种推导结果

这个文章再推导一种不同的 Chernoff bounds。

(录制的视频在：https://www.bilibili.com/video/BV1yu4y1D7Qv/）

其中  并且 

进一步推导公式 (1) 中的那个数学期望：

其中

从这一步开始，用了与之前视频/文章不同的缩放不等式，上一次是用代数几何平均不等式，这次是使用：

所以，公式 (3) 中的：

把公式 (4) 代入公式  (3):

把公式 (5) 代入公式 (2):

把公式 (6) 代入公式 (1):

求公式 (7) 的最小值：

把公式 (8) 代入公式 (7):

从这里出发，还有两种方法进一步缩放

方法 1：

如果 

则   ,  代入公式 (9)

方法 2:

因为 

所以，公式 (9)

对于   用同样的方法可以证明，把前面的 t 换成 -t ，结果就是把公式(9) 中的  换成     ，可得到：

再用：

则：

把 (11) 代入 (10):

可以看到最终都能是随着  递增而呈指数衰减.