实分析第三章——函数的可微性——有界变差函数

证明完定理3.7，我们来看：

则明显有

我们先证明：

主要思想是利用可测函数列的极限可测以及可列子集的sup可测：

很明显有

又有

接下来回去证明定理3.6:有界变差函数几乎处处可微：

只需要证明如下两点：

首先先证明第一步：（F本身可以看成递增连续的）

证明其小于无穷，正常的思路就是证明大于任意数的集合的测度为0:

由系3.9，我们有：

则我们会想起系3.8的结论：

那么我们所需要的结论就很简单的出来了：

对于第二步，我们采用反证法：

首先构造这样的集合：

那么我们如果要得到题目结论只需要这个集合测度为0，那么就可以通过反证法：

O是开集，则有：

于是：

改写一下：

看出又有推论的形式，继续用3.8:

我们再改写一下：

我们接着利用3.8往大的方向估计：

最后：

证明完这两步，我们就有：

得证。