A-3-3能量

2023-08-31 13:36 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

3.3.1 变力做功

变力做功的问题，一般直接积分就可以了。特殊情况我们可以直接用平均作用力乘以位移，或者作用力乘以平均位移来计算做功。

例1.将木板在水平地面上绕其一端转动的角度为 $%5Calpha$ ，求所需要做的功。木板长度为L，质量为M，木板与地面之间的动摩擦因数为 $%5Cmu$ .

解：以转轴为原点，选取距离转轴x处长为dx的木板，

其对地面压力

$dF_N%3D%5Cdfrac%7Bdx%7D%7BL%7DMg$
与地面之间的滑动摩擦力

$df%3D%5Cmu%20dF_N%3D%5Cdfrac%7B%5Cmu%20Mg%7D%7BL%7Ddx$
转动角度 $%5Calpha$ 时对应转动距离

$l%3Dx%5Calpha$
摩擦力做功

$dW%3Ddf%5Ccdot%20l%3D-%5Cdfrac%7B%5Cmu%20Mg%5Calpha%7D%7BL%7Dxdx$
至少需要克服摩擦力做功

$W%3D-%5Cint_0%5EL%20dW%3D%5Cdfrac%7B%5Cmu%20Mg%5Calpha%20L%7D%7B2%7D$
本题中不同位置木板所受摩擦力大小不变，位移随到端点距离线性增加。所以也可以直接用平均值计算，杆的另一端位移 $%5Calpha%20L$ ，则摩擦力平均位移 $%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Calpha%20L$ .摩擦力为 $%5Cmu%20Mg$ ，则至少做功 $%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Calpha%20L%5Cmu%20Mg$ .

3.3.2 离心势能

在转动的情景中，我们在惯性参考系中使用动能定理时，过程比较麻烦，此时我们可以选转动参考系，此时使用动能定理，需要考虑离心力做功

$W%3D%5Cint%5E%7Br_2%7D_%7Br_1%7D%20m%5Comega%5E2rdr%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Comega%5E2(r_2%5E2-r_1%5E2)$

由于此时离心力与r成正比，离心力为保守力，可以类比弹性势能，以圆心为势能零点，引入r处的离心势能

$E_p%3D-W%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Comega%5E2r%5E2$

例2.（1）如图所示，有一长度 $l_2%3D20cm$ 的圆筒绕着与简长度方向垂直的轴OO'以恒定的转速n=100r/min旋转.简的近轴端离轴距离为 $l_1%3D10cm$ .筒内装满高度黏稠、密度 $%5Crho%3D1.2g%2Fcm%5E3$ 的液体.有一颗质量m=1.0mg、密度 $%5Crho'%3D1.5g%2Fcm%5E3$ 的粒子从圆筒正中释放（释放时粒子相对圆筒静止），试求该粒子到达筒端的过程中克服液体的黏滞阻力所做的功. （2）若粒子的密度 $%5Crho''%3D1.0g%2Fcm%5E3$ ，其它条件均不变，则粒子在到达筒端的过程中克服黏滞阻力所做的功又是多少？

解：转动问题，我们可以换转动参考系来分析，此时需要考虑惯性离心力的作用，或者直接考虑离心势能。

此时粒子受到3个力的作用，惯性离心力，两侧压力、黏滞阻力。需要注意的是，其中惯性离心力等效为此时的"重力"，两侧合压力等效为液体的“浮力”，此时重力加速度 $%5Comega%5E2r$ 随距离的变化而变化。高度粘稠，说明三力合力为0.

（1） $%5Crho%3C%5Crho'$ ，此时浮力小于等效重力，粒子向外运动，从筒中点到筒右端，阻力做功等于

$W%3D(%5Coverline%20G-%5Coverline%20F_%E6%B5%AE)%5Ccdot%20%5Cdfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D$
代入

$%5Cbar%20g%3D%5Comega%5E2%5Cdfrac%7B(l_1%2Bl_2%2F2)%2B(l_1%2Bl_2)%7D%7B2%7D%3D%5Comega%5E2(l_1%2B%5Cdfrac%7B3l_2%7D%7B4%7D)$
得

$W_1%3D%5Cdfrac%7B%5Crho'-%5Crho%7D%7B2%5Crho'%7Dm%5Comega%5E2(l_1%2B%5Cdfrac%7B3l_2%7D%7B4%7D)l_2%20%3D5.5%5Ctimes10%5E%7B-7%7DJ$
其中离心力做功也可以直接用离心势能差表示。

（2） $%5Crho%3E%5Crho''$ ，此时浮力大于等效重力，粒子向内运动，同理可得，阻力做功等于

$W_2%3D%5Cdfrac%7B%5Crho-%5Crho''%7D%7B2%5Crho''%7Dm%5Comega%5E2(l_1%2B%5Cdfrac%7Bl_2%7D%7B4%7D)l_2%20%3D3.3%5Ctimes10%5E%7B-7%7DJ$

3.3.3 临界问题

最常见的临界问题有2类，绳松弛，接触面分离。

例3.有一个摆长为l的单摆（摆球可视为质点，摆线质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O距离为x处(x<l)的 c点有一固定的钉子，如图所示.当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡.当l一定而x取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同.现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过o点），然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x的最小值.

解：假设摆初始放手时与竖直线夹角为 $%5Calpha$ ，绳子打到钉子后做半径为l-x的圆周运动，运动到C点上方，摆线与竖直夹角成 $%5Ctheta$ 时，摆线松弛，小球之后做斜抛运动，刚好打到钉子。

摆线松弛时小球速度v满足机械能守恒

$mg%5Bx-(l-x)%5Ccos%5Ctheta-l%5Ccos%5Calpha%5D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2%20%20%20%20%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A0$
绳子刚好松弛时，重力的分量提供法向加速度

$mg%5Ccos%5Ctheta%3Dm%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7Bl-x%7D%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A1$
斜抛运动水平位移 $(l-x)%5Csin%5Ctheta$ ，竖直位移 $-(l-x)%5Ccos%5Ctheta$ ，从松弛到击中钉子时间为t.则

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20(l-x)%5Csin%5Ctheta%3Dv%5Ccos%5Ctheta%20t%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A2%5C%5C%20-(l-x)%5Ccos%5Ctheta%3Dv%5Csin%5Ctheta%20t-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dgt%5E2%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A3%20%5Cend%7Bcases%7D$
消去t得

$-(l-x)%5Ccos%5Ctheta%20%3D(l-x)%5Cdfrac%7B%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%7B%5Ccos%5Ctheta%7D%20-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%5Cdfrac%7B(l-x)%5E2%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%7Bv%5E2%5Ccos%5E2%5Ctheta%7D$
即

$2v%5E2%5Ccos%5Ctheta%3Dg(l-x)%5Csin%5E2%5Ctheta$
代入②得

$2g(l-x)%5Ccos%5E2%5Ctheta%3Dg(l-x)%5Csin%5E2%5Ctheta$
解得

$%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%203%7D%7B3%7D$
代入①②得

$(2%2B3%5Ccos%5Ctheta)x%3D3l%5Ccos%5Ctheta%2B2l%5Ccos%5Calpha$
要使得x最小，则最小，由于摆球的高度不超过O点， $%5Ccos%5Calpha$ 最小值等于0.

此时

$x_%7Bmin%7D%3D(2%5Csqrt3-3)l$

例4.三个半径同为R、质量为m的匀质光滑小球放在光滑水平桌面上，相互接触.用手扶住三个小球，保持相互接触，将一个半径相同，质量为3m的光滑小球置于三个小球中间正上方.然后同时释放，求上面的小球碰到桌面时的速度为多大？

解：由对称性，刚开始上方小球竖直下落，下方3个小球以上方小球轨迹为对称轴，对称散开，到某一位置，上方小球和下方小球分离，开始做竖直下抛运动。我们研究一上一下两小球球心连线所在竖直面。令连心线与竖直夹角为 $%5Ctheta$ ，由几何关系，刚开始时 $%5Ccos%5Ctheta_0%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt6%7D%7B3%7D$ .

两球分离时，二者之间无压力，下方小球匀速运动。假设上方小球速度 $v_1$ ，下方小球速度 $v_2$ ，

由垂直接触面方向速度相等，有

$v_1%5Ccos%5Ctheta%3Dv_2%5Csin%5Ctheta$
二者相对速度
$v_r%3D%5Cdfrac%7Bv_1%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D$
由机械能守恒

$3mg%5Ccdot2R(%5Ccos%5Ctheta_0-%5Ccos%5Ctheta)%20%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D3mv_1%5E2%2B3%5Ctimes%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_2%5E2$
以下方小球为参考系，为惯性参考系，上方小球做圆周运动，分离时重力分量提供向心加速度

$3mg%5Ccos%5Ctheta%3D3m%5Cdfrac%7Bv_r%5E2%7D%7B2R%7D$
联立以上方程得

$2%5Ccos%5Ctheta_0%3D3%5Ccos%5Ctheta$
故

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7B2%5Csqrt6%7D%7B9%7D%5C%5C%20v_1%5E2%3D2gR%5Csin%5E2%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$
落地速度v满足

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D3mv%5E2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D3mv_1%5E2%2B3mg%5Ccdot%202R%5Ccos%5Ctheta$
故

$v%3D%5Csqrt%7Bv_1%5E2%2B4gR%5Ccos%5Ctheta%7D%20%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B27%7D%5Csqrt%7B219%5Csqrt6gR%7D$

例5.如图，AB部分是一光滑水平面，BC部分是倾角为 $%5Ctheta(0%5Eo%3C%5Ctheta%5Cle90%5Eo)$ 的光滑斜面（ $%5Ctheta%3D90%5Eo$ 时为竖直面）.一条伸直的、长为l的匀质光滑柔软细绳绝大部分与B棱垂直地静止在AB面上，只是其右端有极小部分处在BC面上，于是绳便开始沿ABC下滑（1）取 $%5Ctheta%3D90%5Eo$ ，细绳能否一直贴着ABC下滑直至绳左端到达B？（2）事实上，对所给的角度范围 $%5Ctheta(0%5Eo%3C%5Ctheta%5Cle90%5Eo)$ ，细绳左端到B棱尚有一定距离时，细绳便会出现脱离ABC约束（即不全部紧贴ABC）的现象.试求该距离x.

解：（1）ABC对细绳的作用力只能沿着右上方，冲量水平分量只能向右，而细绳本来向右运动，后来贴着BC竖直向下运动，动量变化量向左，故不能实现。

（2）假设细绳质量线密度为 $%5Clambda$ .脱离时，细绳加速度a，对细绳整体受力分析

$%5Clambda(l-x)g%5Csin%5Ctheta%3D%5Clambda%20la$
研究在B点的小段绳，脱离接触时受力如图所示，

由水平方向动量定理

$(T%5Ccos%5Ctheta-T)dt%3D%5Clambda(vdt)%20v(%5Ccos%5Ctheta-1)$
即

$T%3D%5Clambda%20v%5E2$
对水平面上的细绳

$T%3D%5Clambda%20xa%3D%5Clambda%20x%5Cdfrac%7Bl-x%7D%7Bl%7Dg%5Csin%5Ctheta$
由机械能守恒

$%5Clambda%20(l-x)g%5Cdfrac%7B(l-x)%7D%7B2%7D%5Csin%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clambda%20lv%5E2$
联立以上3式得

$x%3D%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D$
注：上面如果用竖直方向动量定理的话

$%5BT%5Csin%5Ctheta%2B%5Clambda%20(vdt)g%5Ddt%3D%5Clambda(vdt)%20v%5Csin%5Ctheta$
微元重力的冲量为高阶小量，可以忽略，得到相同的结果。

3.3.4 柯尼希定理

很多问题我们在质心参考系中考虑比较简单，我们考虑多个物体在质心系中的动量

$%5CSigma%20m_i%5Cvec%20v_i%3D%5CSigma%20m_i(%5Cvec%20v_c%2B%5Cvec%20v_%7Bic%7D)%20%3D%5CSigma%20m_i%5Cvec%20v_c%2B%5CSigma%20m_i%5Cvec%20v_%7Bic%7D$

已知质心速度

$%5Cvec%20v_c%3D%5Cdfrac%7B%5CSigma%20m_i%5Cvec%20v_i%7D%7B%5CSigma%20m_i%7D$

故有

$%5CSigma%20m_i%5Cvec%20v_%7Bic%7D%3D0$

即在质心系中，动量守恒。

我们再考虑多个物体在质心系中的动能

$%5CSigma%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_i%5Cvec%20v_i%5E2%3D%5CSigma%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_i(%5Cvec%20v_c%2B%5Cvec%20v_%7Bic%7D)%5E2$

$%3D%5CSigma%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_i%5Cvec%20v_c%5E2%2B%5CSigma%20m_i%5Cvec%20v_c%5Cvec%20v_%7Bic%7D%2B%5CSigma%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_i%5Cvec%20v_%7Bic%7D%5E2$

$%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5CSigma%20m_i)%5Cvec%20v_c%5E2%2B(%5CSigma%20m_i%5Cvec%20v_%7Bic%7D)%5Cvec%20v_c%2B%5CSigma%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_i%5Cvec%20v_%7Bic%7D%5E2$

其中第一项是质心动能，第三项是质心系中物体的动能，也称为资用能。第二项为0.

故系统总动能

$E_k%3D%E8%B4%A8%E5%BF%83%E5%8A%A8%E8%83%BD%2B%E8%B4%A8%E5%BF%83%E7%B3%BB%E4%B8%AD%E5%8A%A8%E8%83%BD$

上式也称为柯尼希定理。

另外，如果质心系为非惯性系，为了动能定理再次适用，我们需要考虑惯性力做功。

在质心系中，质心的位置不变，惯性力等效作用在质心上，故质心系中惯性力做功为0.可以直接适用动能定理。

例6.如图所示，把质量均为m的两个小钢球用长为2l的细线连接，放在光滑的水平面上，在线的中央O处作用一个恒定的拉力，其大小为F，其方向沿水平方向且与开始时连线的方向垂直，连线是非常柔软且不会伸缩的，质量可忽略不计.试求：（1）当两连线的张角为 $2%5Ctheta$ 时，如图所示，在与力F垂直的方向上钢球所受的作用力是多大？（2）钢球第一次碰撞时，在与力F垂直的方向上，钢球的对地速度为多大？（3）经过若干次碰撞，最后两个钢球一直处于接触状态下运动，试求由于碰撞而失去的总能量为多大？

解：（1）对O点受力分析，合力为0，设绳弹力为T，则有

$2T%5Ccos%5Ctheta%3DF$
故小球垂直方向受力

$T%5Csin%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7BF%5Ctan%5Ctheta%7D%7B2%7D$
（2）设钢球沿F方向速度为v_x，垂直F方向速度为v_y.

我们在质心系中研究，则有动能定理

$Fl%3D2%5Ccdot%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_y%5E2$
解得

$v_y%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BFl%7D%7Bm%7D%7D$
（3）碰撞中损失的能量即为质心系中的资用能

$%5CDelta%20E%3D2%5Ccdot%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_y%5E2%3DFl$

3.3.5 练习

练1.锤子每次从同一高度自由落下打击木桩，每次有80%的能量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入地面深度x成正比.试求木桩第n+1次打入的深度与第n次打入深度之比值.

答案： $%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Bn%2B1%7D-%5Csqrt%20n%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D-%5Csqrt%7Bn-1%7D%7D$

练2.长为l的轻杆上端有一个质量为m的小重物A，杆被铰链固接在O点，如图所示，并处于竖直位置，同时与质量为M的物体B互相接触.由于微小扰动使系统发生运动.试问：（1）质量之比 $%5Cgamma%3DM%2Fm$ 为多少的情况下，杆在脱离物体B的时刻与水平面成角 $a%3D%5Cpi%2F6$ . （2）这时物体B的速度u大小为多少？