“法国小学生奥数试卷”详细解答与试卷分析
这是专栏CV17472164中试卷的详细解答与试卷分析。
这里给出UP主认为需要详解的题目解析，若您尚有存疑的其他题目，可于评论区中说明，UP主将不断完善此专栏。
试卷分析部分中试题难度将记作，
，
，
，
五个等级，按数值从小到大依次对应小学题，初中题， 高中题，竞赛题，钓鱼题。
部分题目后有注解，用于补充相关问题。
1.难度：，本题看似简单，实则简单。略
2.难度：，
解析：即a>0,b>0,ab(a+b)=4,求2a+b最小值。考虑,这需要
,解出即可。
3.难度：，这是一个很有意思的问题，参考评分意见CV17502559即可。
注：关于等幂求和，有一个有趣的问题：
记
,易证
是n的k+1次多项式。证明：
.
4.难度：，
解析：不难得出，如果注意力涣散，无法注意到x=3为一解，可先发现其实数解必满足x>0，耐心猜根尝试。最后不要忘记解分式方程需检验。
5.难度：，深入理解相关知识即可。
提示：设与
是两个群，映射
称为群
到
的同构，是指对于
且
是一一对应（双射）。
那么素数阶群均与循环群同构，4阶群仅两种且均为Abel群。
注：在同构意义下，我们不加证明地给出小阶群的结构如下：
6.难度：，本题考察公式记忆，若公式遗忘，可用定积分进行推导。略
注：定积分在长度，面积，体积公式推导上用途广泛。尝试用定积分证明：
7.难度：，本题考查几何问题代数化，只需做出长
的线段，便可得到72°的角。参考评分意见CV17502559即可。
注：数形结合百般好。通过几何问题代数化，我们可以将著名的三等分角问题转化为对数域的讨论，从而解决这一“世界难题”。
尝试证明：不可能用有限次尺规作图三等分任意角。
8.难度：，本题考察创造力，略
9.难度：，本题考查微积分思想，略
10.难度：，本题看似考察图论，实则考察计数。参考评分意见CV17502559即可。
11.难度：，本题为综合题，参考评分意见CV17502559即可。
12.难度：，本题考察互质，对接新高考。略
注：关于互质，有一个有趣的问题：
已知
，欧拉公式
，求任取两个正整数互质的概率。
13.难度：，
解析：先证x无奇素数因子，设p为奇素数，且p不整除
据二项式定理，①，则x整除y,从而p整除y，令
且p不整除
.
对,设
,即得在
中p幂次至少为d=b+ai-c。
若c=0,则d>a+b;若c>0,则，故d>b+a+c(a-1)≥a+b,总之d≥a+b+1。
这意味着,又
，故①式左边含p幂次为a+b。
又,则①左右两端含p幂次不等，矛盾！
从而x必为形式的数，剩余部分证明留作习题。
14.难度：，
解析：存在至少三种方法：
①据Dirichlet定理，trivial !
②假设有限个，记为,令
,考虑
的任一素因子q，q整除左边得
或
。
若则
，而显然
，从而p=q。但是p整除a，故p不整除
，矛盾！
从而，q即为更大的符合要求的数。
③假设有限个，取并大于其中最大者，显然a>p,则
。
记，两边取欧拉函数，知存在i使得
,但易证p不等于任一个
，这样就构造出了新的
，与有限矛盾！
15.难度：，参考评分意见CV17502559即可。
16.难度：，参考评分意见CV17502559即可。
17.难度：，
提示：枚举法构造策略。本题并不难，入手点是11倍数的性质。
再提示：记,
，
则
.结合
，有
.
18.难度：，参考评分意见CV17502559即可。
19.难度：，参考评分意见CV17502559即可。
注：这是奥昆向萨哈罗夫提出的经典问题。关于这个问题，有一个有趣的结论：
记
，证明
20.难度：，考察复变函数知识的运用，深入理解相关知识即可。
注：关于复变函数，我们有以下有趣的多值性问题：
设关于
的方程
有解
，记
，其中
是多值的。
1.求：
和
2.不妨取
，求
和
3.利用
，求
的表达式
4.复平面内是否有满足
的点？
21.难度：，深入理解相关知识即可。
提示：本题具有物理背景。
22.难度：，深入理解相关知识即可。
提示：利用材料中引理，推导矛盾。
注：关于位置计数法，有一个有趣的问题：
易证，利用n个q进制数码可以写出
个不同的数。现设自变量x为自然数，考虑函数
，比较不同进制计数法的经济性。
一个可能的分数线：90分钟限时内
小学生：0-18分
初中生：19-30分
高中生：31-50分
数竞生：50分以上
欢迎作答，欢迎交流，我们共同进步，希望大家在小升初中创造辉煌。
需要说明的是，因为本卷问题的难度与开放性均较大，总分固然能反映水平，但其中某一道题若提供特别出彩的解法也可以展示能力，为小学生提供了发挥的舞台。
