【趣味物理题】斯托克斯流动抛体运动

2021-10-11 09:12 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛（Tao Steven Zheng）著

【问题】

假设空气阻力与射弹的速度成正比 $F_D%20%3D%20-kv$ 。以初始速度（initial velocity）

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20v_x%20%5C%5C%20v_y%20%5C%5C%20v_z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cdot%20x_0%20%5C%5C%20%5Cdot%20y_0%20%5C%5C%20%5Cdot%20z_0%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

和初始位置（initial displacement）在原点

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x%20%5C%5C%20y%20%5C%5C%20z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%5C%5C%200%20%5C%5C%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

推算出从原点发射的弹丸的弹道（轨迹）。

题一、推算位置矢量（displacement vector）。

题二、求解 $%20z(x)$ ，记得 y-轴上没有运动。

【题解】

题一
空气阻力的三维运动方程：

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20ma_x%20%5C%5C%20ma_y%20%5C%5C%20ma_z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20-kv_x%20%5C%5C%20-kv_y%20%5C%5C%20-kv_z%20-%20mg%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

将方程两边除以质量 $m$ ，然后定义 $%5Crho%20%3D%20%5Cfrac%7Bk%7D%7Bm%7D$ 。把加速写成 $%5Cddot%20x%2C%20%5Cddot%20y%2C%20%5Cddot%20z%20$ :

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cddot%20x%20%5C%5C%20%5Cddot%20y%20%5C%5C%20%5Cddot%20z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20-%5Crho%20%5Cdot%20x%20%5C%5C%20-%5Crho%20%5Cdot%20y%5C%5C%20-%5Crho%20%5Cdot%20z%20-%20g%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

求得速度矢量，对加速与时间进行积分。使用初始速度条件求解常数。

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cdot%20x%20%5C%5C%20%5Cdot%20y%20%5C%5C%20%5Cdot%20z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0A%5Cdot%20x_0%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5C%5C%0A%5Cdot%20y_0%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B-g%7D%7B%5Crho%7D%20%2B%20%5Cleft(%5Cdot%20z_0%20%2B%20%5Cfrac%7Bg%7D%7B%5Crho%7D%20%5Cright)%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

求得位置矢量，对速度与时间进行积分。使用初始位置条件（原点）求解常数。

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x%20%5C%5C%20y%20%5C%5C%20z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cdot%20x_0%20%5Cleft(1%20-%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cdot%20y_0%20%5Cleft(1%20-%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B-g%7D%7B%5Crho%7D%20t%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%20%5Cleft(%5Cdot%20z_0%20%2B%20%5Cfrac%7Bg%7D%7B%5Crho%7D%20%5Cright)%20%5Cleft(1%20-%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5Cright)%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20$

题二
由 $x%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cdot%20x_0%20%5Cleft(1%20-%20%7Be%7D%5E%7B-%5Crho%20t%7D%20%5Cright)$ ，得

$%20t%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%20%5Cln%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cdot%20x_0%7D%7B%5Cdot%20x_0%20-%20%5Crho%20x%7D%20%5Cright)$

因此，

$z(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B-g%7D%7B%7B%5Crho%7D%5E%7B2%7D%7D%5Cln%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cdot%20x_0%7D%7B%5Cdot%20x_0%20-%20%5Crho%20x%7D%20%5Cright)%0A%2B%20%5Cleft(%5Cdot%20z_0%20%2B%20%5Cfrac%7Bg%7D%7B%5Crho%7D%20%5Cright)%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Cdot%20x_0%7D$

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