【模块1】不等式与二次函数（偏基础版）
小姚老师 | 2-1 不等式与二次函数
1️⃣不等式的性质
①对称性：a>b⇔b<a
②传递性：a>b且b>c ⇒a>c
③可加性：a>b⇒a+c>b+c
④可乘性：a>b且c>0 ⇒ac >bc；a>b且c<0 ⇒ac<bc
⑤同向可加性：a>b且c>d ⇒a+c>b+d
⑥同向同正可乘性：a>b>0且c>d>0 ⇒ac>bd
⑦可乘方性：a>b>0 ⇒aⁿ >bⁿ（n∈N*)
类型I：用不等式性质判断不等式是否正确
【例1】下列说法正确的是
A. 若a>b，则 ac²>bc²【c需要>0】
B. 若a>b，c>d，则a-c>b-d【只有加号成立】
C. 若a>b，c>d，则ac>bd【都得是正数】
D. 若a>b，c>d，则a+c>b+d✓
- 关注细节；
- 善用特殊值检验
法一：
A：代入数值后错误
C：你得确定c+2是正数
法二：
A：因式分解，错误
B：两式做差，移项通分，因式分解看正负
D：因式分解，正确
2️⃣一元二次不等式
看图说话
【例3】不等式x² +3x-4≥0的解集为
A. （-∞，-4)U(1，+∞）
B. （-∞，-4】U【1，+∞）✓
C. （-4,1）
D. 【-4，1】
【变式1】若关于x的不等式x-(m+3)x +3m<0的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围是
因式分解，看图说话
分类讨论
①m=3，不符合题意
②m>3，（5,6】
③m<3,【0，1）
【0,1）∪（5,6】
【变式2】若一元二次不等式x²+ax+b<0的解集为{x| -1<x<2}，则a+b=
A. -3✓
B. -2
C. -1
D. 1
已知两根，用韦达定理
a=-1，b=-2
【变式3】若不等式ax²+bx+c >0的解集是{x | -1<x<4}，则不等式b(x²-1) +a(x+3)+c>0的解集为
看图说话
讨论开口
- ①a>0，但是>0的解集都涉及到∞，不符合题意
- ②a=0，但是>0的解集都涉及到∞，不符合题意
- ③a<0，符合题意
韦达定理，求b、c
注意，因为a<0，同时除以a需要变号
不等式代入，变成了解一元二次不等式
3️⃣一元二次方程根的分布
根据一元二次方程在某区间上根的情况求参；
①若只说有根，没规定根的个数，则考虑参变分离，再对变量一侧求值域，即可得到参数的范围.
②若规定了根的个数，则常画出二次函数的图象，考虑开口、判别式、对称轴、端点（特殊点）值.
【例4】已知关于x的方程x²+x+m=0在区间(1,2)内有实根，则实数m的取值范围是
A. [-6,-2]
B. (-6,-2)
C. （-∞,-6]U[-2,+∞)
D. （-∞,-6)U(-2,+∞)
参变分离：g(x) =-m =x²+x
在（1，2）有解，转化成交点问题
画图，2<-m<6 -6<m<-2
【变式】方程ax²+2x+1=0在(1,2)上有根，则实数a的取值范围为
参变分离：-a =2x+1 /x²
g(x) =-a =2x+1 /x² =f(x)
画图找交点，算f(x)的值域
同除x²，令1/x=t，变成t²+2t
5/4<-a<3 -3<a<-5/4
【例5】一元二次方程ax²+5x+4=0有一个正根和一个负根的充要条件是
A. a<0
B. a>0
C. a<-2
D. a>1
二次不等式不能除a，因为a的正负未知
如果是一元二次方程就可以
同时除以a，那么以此项就是正的了
法一：f(0)=4/a<0 a<0
法二：△>0，x₁x₂<0，a<0
【变式1】若关于x的方程x²-(m+1)x +4m²=0在(0,1)，(1,2)内各有一个实数根，则实数m的取值范围是m∈（0,1/4）.
画图，判断特殊点正负
①f(0)>0，4m²>0，m≠0
②f(1)<0，4m²-m<0，m∈（0,1/4）
③f(2)>0，4m²-2m+2>0，m∈R
综上m∈（0,1/4）
【变式2】方程ax²-(a+2)x +4 =0在(1,+∞)上有两个不相等的实根，则实数α的取值范围为0<a<6-4√2
直接除a
画草图
①f(1)>0，1-a+2/a+4/a>0 2/a>0 a>0
②△>0，(a+2)²/a² -16/a>0 a²-12a+4>0 a<6-4√2或a>6+4√2
③a+2/a/2 >1，a+2>2a 2>a
