在进入正题之前，我们先来看一下人教版九年级数学课本的一个数学活动

结合勾股定理，我们不难得到曲线L的解析式为y=（1/4）x²+1

结合题目，我们发现，对于此抛物线，其上任意一点到点（0,2）的距离等于其到X轴的距离

这是巧合吗？

是否对于所有抛物线，平面上都存在一点和一直线，使抛物线上任意一点到两者的距离相同？

我们先来观察一下二次项系数为1/4的抛物线。

根据上面的数学活动，我们已知此命题对于抛物线y=（1/4）x²+1成立

我们知道，真正决定抛物线形状的是二次项系数的绝对值，而一次项系数和常数项则决定抛物线的位置。

也就是说，二次项系数固定的抛物线其形状是固定的，不论一次项系数和常数项如何变化，都可以看作是原抛物线平移后的结果。

所以任意二次项系数为1/4的抛物线，都可以看作是抛物线y=（1/4）x²+1平移后的结果。

因此我们只需要跟着抛物线相应地平移点（0,2）和直线y=0（即x轴）即可保证新抛物线上任意一点到两者的距离相同。

事实上对于任意抛物线，都存在焦点与准线。

平面上存在一点和一条直线，抛物线上任一点到这个点和这条直线的距离相等。这个点叫作焦点，这条直线叫准线。（实际上这就是抛物线的定义）

在抛物线y=（1/4）x²+1中，焦点是点（0,2），准线是直线y=0。

如何证明这个命题呢？

证明

这个命题直接证明不太好证明，但是我们可以从它的反面思考

满足到焦点与准线距离相同的点的轨迹是什么呢？

如图，我们取经过焦点F且垂直于直线l的直线为y轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立直角坐标系xOy

设KF=p（p>0）,那么焦点F的坐标为（0,p/2），准线l的方程为y=-p/2

设点M（x，y）到焦点F与准线l的距离相等

即MF=MH（图看着不像，但是我尽力了）

我们最终得到点的轨迹为y=x²/（2p），因为1/2p可以是任意正整数。所以点的轨迹可以为任意形状的抛物线（抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定）。

所以任何形如y=ax²（a>0）的抛物线都有焦点和准线。

与上文同理，抛物线y=ax²+bx+c都可以看作是抛物线y=ax²平移后的结果。所以任何抛物线都存在焦点和准线。

以上就是本篇文章的全部内容。

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