【种花家务·代数】2-2-03一元一次不等式和它的解法『数理化自学丛书6677版』

2023-11-14 10:53 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章一元一次不等式

§2-3一元一次不等式和它的解法

1、一元一次不等式的意义

【01】我们来看下面的几个不等式 x－3＞5；a＋5＞a＋1；x/4＜1；3(1－y)＞2(y－6) 。

【02】这些不等式都只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数都只有一次。

【03】只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数是 1 次的不等式，叫做一元一次不等式。例如，上面一些不等式都是一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

【04】解不等式的方法，就是根据不等式的性质，把原不等式逐步变形成比较简单的不等式，直到最后得出象 x＞a 或者 x＜a 这样最简单的不等式。这个不等式的解就是原不等式的解。

【05】在解不等式的时候，我们常常利用移项法则，把不等式里含有未知数的项移到不等式的左边，不含有未知数的项移到不等式的右边。下面我们举例来说明。

例1.解不等式：3－2x＞7 。

【解】

根据移项法则，把 3 移到右边，得－2x＞4 。

两边都除以－2，得 x＜－2 。

这个不等式的解可以象图2·1那样，在数轴上表示出来。

【注意1】在把不等式－2x＞4 的两边都除以－2 以后，得到的一个不等式是 x＜－2 。这里必须注意这两个不等式中不等号的方向是不同的。

【注意2】为了清楚地看出适合不等式的解的那些数值范围，我们通常用数轴上的点来表示不等式的解。在图2·1里，因为 x＝－2 不适合原不等式，所以在数轴上表示－2 的一点，用空心圈 “ ° ” 标出。

【06】从这个例子可以知道，不等式 3－2x＞7 根据不等式的两个性质逐步变形成不等式－2x＞4 和 x＜－2，它们的解是相同的。象这样的两个不等式 3－2x＞7 和 x＜－2，叫做同解不等式。

【07】必须注意，方程的解（也叫做方程的根）和不等式的解是不同的。一般地说，方程的解是确定的一个（或几个）数值（以后会讲到方程的解可以有几个），而不等式的解是一个数值范围，它的数值可以有无数多个。例如，

【08】方程 3－2x＝7 的解是 x＝－2，只有一个数值；

【09】不等式 3－2x＞7 的解是 x＜－2，是一个数值范围，有无数多个数，如 x＝－3，x＝－5.2 等等。

例2.解不等式：2x＜3x＋4 。

【解】

根据移项法则，把 3x 移到左边，得 2x－3x＜4 。

合并同类项，得－x＜4 。

两边都乘以－1，得 x＞－4 。

这个不等式的解可以象图2·2那样，在数轴上表示出来。

例3.解不等式：2(5－3x)＞3(4x＋2) 。

【解】

去括号，得 10－6x＞12x＋6 。

移项，得－6x－12x＞6－10 。

合并同类项，得－18x＞－4 。

两边都除以－18，得 $%5Cscriptsize%20x%3C%5Cfrac4%7B18%7D$ ，就是 $%5Cscriptsize%20x%3C%5Cfrac29$ 。

图2·3表示数轴上能使不等式成立的数值的范围。

【说明】为了约筒分数，从 $%5Cscriptsize%20x%3C%5Cfrac4%7B18%7D$ 得出 $%5Cscriptsize%20x%3C%5Cfrac29$ ，必须分步写出，不能错误地写成 $%5Cscriptsize%20x%3C%5Cfrac4%7B18%7D%3C%5Cfrac29$ 。

例4.解不等式： $%5Cscriptsize2(x%2B1)%2B%5Cfrac%7Bx-2%7D3%3C%5Cfrac%7B7x%7D2-1$ 。

【解】

去分母，得 12(x＋1)＋2(x－2)＜21x－6 。

去括号，得 12x＋12＋2x－4＜21x－6 。

移项，得 12x＋2x－21x＜－6－12＋4 。

合并同类项，得－7x＜－14 。

两边都除以－7，得 x＞2 。

图2·4表示数轴上能使不等式成立的数值的范围。

【10】从上面的例子可以看出，解一元一次不等式的一般步骤如下：

(ⅰ)去分母（乘数是正数，保留原不等号；乘数是负数，要把不等号改变成相反的不等号）；

(ⅱ)去括号；

(ⅲ)移项；

(ⅳ)合并同类项；

(ⅴ)不等式的两边都除以未知数的系数（系数是负数时，要把不等号改变成相反的不等号）。

【11】由于不等式的形式不同，所以在解不等式时，上面的步骤并不一定都要用到，并且也不一定都要按照上面的顺序进行演算。

习题2-3(1)

解下列各不等式，并且在数轴上把不等式的解表示出来：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%812x-3%3E7.%5C%5C%0A%26%262%E3%80%816x%2B4%3C2x.%5C%5C%0A%26%263%E3%80%818-2x%3E3.%5C%5C%0A%26%264%E3%80%8110%3C12-x.%5C%5C%0A%26%265%E3%80%813(x%2B2)%3E6.%5C%5C%0A%26%266%E3%80%81%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B1%3C4.%5C%5C%0A%26%267%E3%80%81%5Cfrac%7Bx%2B5%7D%7B2%7D%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D.%5C%5C%0A%26%268%E3%80%81%5Cfrac%7B2x-3%7D%7B7%7D%3C%5Cfrac%7B3x%2B2%7D%7B4%7D.%5C%5C%0A%26%269%E3%80%81%5Cfrac%7B2(4x-3)%7D%7B3%7D%3E%5Cfrac%7B5(3x%2B1)%7D%7B4%7D.%5C%5C%0A%26%2610%E3%80%81%5Cfrac%7B5(y-1)%7D%7B56%7D-1%3E%5Cfrac%7B2(y%2B1)%7D%7B3%7D.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【1、x＞5；2、x＜－1；3、x＜2又1/2；4、x＜2；5、x＞0；6、x＜6；7、x＞－4又1/3；8、x＞－2；9、x＜－3；10、y＞15】

例5.解下列不等式：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D(1)%26%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Bx%2B7%7D%7B6%7D%3E%5Cfrac%7B5%2Bx%7D%7B3%7D%3B%5C%5C(2)%26%5Cfrac%7B15-x%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B7-x%7D%7B6%7D%3E%5Cfrac%7B5-x%7D%7B3%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【解】

(1)

去分母，得 3x－15－x－7＞10＋2x 。

移项，得 3x－x－2x＞10＋15＋7 。

合并，得 0x＞32 。

不论 x 取什么数，这个不等式不成立。

∴ 原不等式没有解。

(2)

去分母，得 45－x－7＋x＞10－2x 。

移项，得－3x＋x＋2x＞10－45＋7 。

合并，得 0x＞－28 。

x 不论为任何值，这个不等式总是成立。

∴ 原不等式是绝对不等式。

【12】解不等式熟练以后，写法和步骤可以简化。

例6.x 是什么数的时候，代数式 3x－7 的值(1)大于零？(2)等于零？(3)小于零？

【解】

(1) 代数式 3x－7 的值大于零，就是 3x－7＞0 。3x＞7，∴ x＞ $%5Cscriptsize%202%5Cfrac13$ 。

(2) 代数式 3x－7 的值等于零，就是 3x－7＝0 。3x＝7，∴ x＝ $%5Cscriptsize%202%5Cfrac13$ 。

(3) 代数式 3x－7 的值小于零，就是 3x－7＜0 。3x＜7，∴ x＜ $%5Cscriptsize%202%5Cfrac13$ 。

答：(1)当 x 取大于 $%5Cscriptsize%202%5Cfrac13$ 的值时，3x－7 大于零；(2)当 x 取 $%5Cscriptsize%202%5Cfrac13$ 这个值时，3x－7 等于零；(3)当 x 取小于 $%5Cscriptsize%202%5Cfrac13$ 的值时，3x－7 小于零。

例7.某工人在技术革新后，完成的生产量超过原来生产定额的 15 倍。如果他原来的定额是每月生产 60 件，这位工人现在每天平均生产的产品是多少？

【解】设这位工人现在每天平均生产 x 件产品，那末一个月生产 30x 件产品。

根据题意，得到不等式 30x＞15 × 60 。

就是 30x＞900，∴ x＞30 。

答：这位工人现在每天的产品多于 30 件。

例8.一个车间计划在 15 天内造出大型零件 192 个，最初 3 天试制，每天只做了 8 个。后来改进了技术，结果在规定日期内可以完成甚至可以超额完成计划。第四天起，平均每天至少做几个？

【解】设第四天起，平均每天做 x 个零件，那末最后的 12 天里共做了 (15－3)x 个零件。因为前三天共做了 8 × 3＝24 个零件。

所以根据题意，得到不等式 24＋(15－3)x ≥ 192 。

就是 24＋12x ≥ 192，12x ≥ 168，∴ x ≥ 14 。

答：这个车间后来平均每天至少做 14 个零件。

【象这种用符号 “≥”（读做大于或者等于）或者 “≤”（读做小于或者等于）把两个代数式连结起来的式子，也可以叫做不等式。但是，在解的时侯，要考虑到不等和相等两个关系同时成立的结果。】

图2·8表示不等式解的范围。

【说明】在图2·8里，因为 x＝14 适合这个不等式，所以在数轴上表示 14 的一点，用黑点“.”标出。

习题2-3(2)

1、解下列各不等式：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)%5C%3B%5Cfrac%7Bx-1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2%2Bx%7D%7B5%7D%3E%5Cfrac%7Bx%2B3%7D%7B2%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(2)%5C%3B%5Cfrac%7B3x%2B1%7D3-1%3C%5Cfrac%7B7x-3%7D5%2B%5Cfrac%7B2(x-2)%7D%7B15%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(3)%5C%3B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx-7%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D(9x-1)%3B%5C%5C%0A%26%26(4)%5C%3B%5Cfrac%7B3(2x%2B5)%7D2%3E3x-1%3B%5C%5C%0A%26%26(5)%5C%3Bx-%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7B3%7D%3C1%2B%5Cfrac%7Bx%2B8%7D%7B6%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(6)%5C%3B%5Cfrac%7B2x%2B1%7D%7B4%7D%3C%5Cfrac%7B15x-2%7D%7B6%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D(6x%2B4).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【(1) x＜－6又1/11；(2) x＞3/8；(3) 绝对不等式；(4) 绝对不等式；(5) x＜3；(6) 无解】

2、求出适合下列各式中 x 的数值范围，并且在数轴上把它表示出来：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)%5C%3B4-%5Cfrac%7B3x-1%7D%7B4%7D%5Cgeqslant%5Cfrac%7B5(x%2B3)%7D%7B8%7D%2B1%3B%5C%5C%0A%26%26(2)%5C%3B%5Cfrac%7B3x-1%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B13-x%7D%7B2%7D%5Cgeqslant%5Cfrac%7B7x%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B11(x%2B3)%7D%7B6%7D.%5C%5C%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【(1) x ≥ 1，(2) x ≥ 2】

3、用不等式表示：(1) a 是一个正数；(2) a 是一个负数。【(1) a＞0，(2) a＜0】

4、下列各代数式中，字母取什么数的时侯，它的值是负数？

$%5Csmall(1)%5Cfrac%7B6x-1%7D%7B4%7D-2x%3B%5Cquad(2)%5Cfrac%7B3y-1%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7By%7D%7B2%7D.$

【(1) x＞－1/2，(2) y＜1/2】

5、下列各代数式中，字母取什么数的时候，它的值是正数？

$%5Csmall(1)~%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%2B8%3B%5Cquad(2)~2(x%2B1)-3.$

【(1) x＞－12，(2) x＞1/2】

6、x 是什么数的时候，代数式 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B3x-5%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B2x%2B3%7D%7B7%7D$ 的值一定小于 2？【x＜7又12/13】

7、x 是什么数的时侯，代数式 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B2x-3%7D%7B7%7D-%5Cfrac%7Bx%2B4%7D%7B3%7D$ 的值一定大于－1？【x＜－16】

8、一个数的 2 倍加上 5 所得的和，大于这个数的 3 倍减去 4 所得的差，求这个数的范围。【x＜9】

9、某校学生下乡支援三秋，每小时走4公里，出发后2小时，校方有紧要通知，必须在40分钟内送到.通讯员骑自行车，至少以什么速度才能在40分钟内把信送到。[提示：40 分钟内送到，意思就是可以用 40 分钟或不到 40 分钟的时间送到]【x ≥ 16】〖山注|| 此处的“三秋”指的是“秋管”“秋收”“秋种”分别是秋时的作物管理、作物收获和作物播种。对应的还有“三夏”，由于“三夏”与“三秋”活动直接关系着人民的粮食安全问题，因此一直是生产活动中的重中之重。以前乡村学校会在秋天再给学生放个小长假。就是为了方便各学生家的三秋农忙生产工作〗

10、一个工程队规定要在 6 天内完成 300 土方的工程，第一天完成了 60 土方。现在要比原定计划至少提前 2 天完成任务，以后几天内平均每天至少要完成多少土方？【x ≥ 80】

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习题2-3(1)

习题2-3(2)