【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep61】实数完备性定理第三发：闭区间套定理
我们在Ep20提到：
“完备性”是“实数”完全不同于“有理数”的一个性质。
——所以，由此可以导出许多“实数”独有的定理。
以及——
“‘实数完备性/连续性’也是在大学数学专业《数学分析》课程中遇到的第一个重要的概念，以此为起点，导出的“实数连续性的六个定理”的相互推导，曾几何时是“北大数学系考研”连续几年《数学分析》的必出题，……，当然这道题往往是其中的送分题，……，简言之，就是，“实数的完备性”部分是数学系第一个要下功夫的学习重点。”
——实际上，实数基本原理有七个，但是聚点原理一般教材一元微积分部分不会深聊，所以我们掌握前六个翻来覆去的推导即可。
我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
我们在Ep49介绍了“实数完备性”的第二个定理——“单调有界原理”：单调有界数列必收敛。
并且我们在Ep49和Ep50介绍了前两个定理的互推。
今天我们先把书上的内容捋一下，明天开始聊这三条定理的互推。
38关于区间套的预备定理
书上的闭区间套定理的证明=“单调有界原理”的一个推论+“闭区间套”的定义
1.“单调有界原理”的一个推论：
闭区间套定理的引理：对数列{xn}和{yn}，如果满足以下条件——
数列{xn}单调递增，数列{yn}单调递减；
xn<yn；
lim（yn-xn）=0，n趋向于无穷大时——
则数列{xn}和{yn}有公共极限c，即c=lim xn=lim yn。
证明：（其实如果定理熟的话，书上的推导已经很清晰了——）
由条件1知，对任意n，有yn<=y1；
由条件2知，对任意n，有x1<=xn<yn<=y1，即{xn}有界；
由2与条件2知，{xn}是一个单调有界数列，故而必有极限c=lim xn；
同理，{yn}必有极限c'=lim yn；
由条件3知，lim（yn-xn）=lim yn-lim xn=c'-c=0，即c=c'，证毕。
注——
引理即是“引出某定理的定理”的意思，可以看做一个预备条件，往往复杂的定理证明很多时候会涉及三四条引理也很正常，我们以后都会遇到。
这种构造两个单调数列，并且数列各数值间存在不等关系的方法，在六条定理互推中十分常用，在Ep50，用单调有界原理推出确界原理，我们也用了类似的方法， 感兴趣的同学可以去复习一下。
2.“闭区间套”的定义
书上先给出了“闭区间”的定义：对于给定实数a<b，所有满足a<=x<=b的数x构成的集合称为一个闭区间，记作[a，b]。
接着给出了“闭区间套”的定义：如果[a1，b1]包含[a2，b2]，则成这两个区间构成了一个闭区间套。
闭区间套定理——
闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；
lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——
则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。
分析——
这个闭区间套的无限序列中，所有区间的左端点，构成一个单调递增数列a1<=a2<=……<=an<=an+1……，右端点构成一个单调递减数列，b1>=b2>=……>=bn>=bn+1……；
由闭区间的定义可知，an<bn；
已知：lim（yn-xn）=0，n趋向于无穷大时；
综合1、2、3和我们刚刚聊过的引理，存在数c使得c=lim xn=lim yn，证毕。
今天就到这里。
