【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep10】数字革命：有理数到实数——顺“序”又开始
大家好，每天阅读五分钟，数学学习更轻松，我就是“语不惊人死不休，不吓到人不回头”的你大哥老碧，今天我们继续上一期的话题：
上一期我们解释了为什么明明无理数已经有了一个简单的定义——“数轴上的点对应的不是有理数的数”，我们还要去做那些复杂得多又不好懂的其他定义？
因为上面这个定义只是一个感性认知，而数学要的是能够拿来作为推理依据，推理工具的具有功能性的定义——
“为了达到这个目的，数学家对数采取了不同的分类方式，常见的有两种：
将所有数都表达成无限小数的形式，如果是3.5，就记作3.500000……或者3.499999……，那么就将数分为两种，无限循环与无限不循环小数，由此导出无理数的定义“无限不循环小数”；
注：
1.是不是与“排中律”形式十分统一？（是A的元素/不是A的元素）
2.为什么3.50000……=3.49999……？（我们之后会详细证明）
引入戴德金提出的“有理数分划”的概念，将有理数拦腰切成两段——下组和上组，两段满足以下性质——
“不空”：两个集合都必定包含元素；（逻辑上[符号语言]来说，不包含任何元素的“空集”和包含一切元素的“全集”如果合在一起，也构成有理数集，所以要排除这种可能性）
“不漏”：两段合在一起便是有理数；（取集合的“并”）
“不重”：两个集合无公共元素；
“不乱”：下组里面任意一个元素小。
（这四点来自方启勤老师的《数学分析》。国内采用“戴德金分割”的定义方式的除了这本书，还有就是陈天权老师的《数学分析讲义》，其他的，记不清了。）
这种分划逻辑上分四种类型，
都比上组的元素
1.上组有最小数，下组无最大数；
2.上组无最小数，下组有最大数；
3.上组下组都无最值；
4.上组下组都有最值。
第四种情况我们用有理数的“稠密性”证明了不可能存在，于是分划只分为三种类型：
1.上组有最小数，下组无最大数；
2.上组无最小数，下组有最大数；
3.上组下组都无最值。
显然，其中第1，2种情形都对应了有理数作为分界线——“界数”——的情况，于是每一个有理数都对应了两个分划。本着数学定义的“消歧义性”，人为规定，把“界数”归为上组或下组，因教材而异。这本书取，“界数”落在上组的情况，作为有理数的定义形式。”
然后我们介绍了无理数的序，并开始验证有理数的”序“的性质对无理数是否仍然成立，我们上次验证了“三歧性”和“传递性”：
7实数域的序
先定义“等于”：
再定义“大于”：
分两种情形——
1.无理数与有理数的比较
意思是，每一个无理数对应一个“有理数的分划”，其中下组的有理数比这个无理数小，上组的则比它大。（“下小上大”）
2.无理数与无理数的比较
也就是以下组为依据，两个不同无理数的确定的”有理数的分划“，下组大的无理数大；
从集合论的观点来说，就是如果我们发现，一个无理数确定的“有理数分划”的下组包含另外一个，则这个无理数大。（“下大则大”）
下面我们就来由无理数“序”的定义，来验证有理数成立的三条“序公理”：
“三歧性”，“传递性”和“稠密性”。
这三条性质，对于有理数，是这样的：
3.三歧性
我们先由无理数的定义验证性质一：
由无理数的“分划”定义结合简单的逻辑推理——任取两个不同的数a，b确定的分划，他们下组之间存在且仅存在三种可能的关系：前者包含后者；前者后者重合；后者包含前者——对应界数关系：a>b，a=b，a<b。（证毕）
所以“无理数的序”满足“三歧性”。
4.传递性
我们继续验证性质二：
如果我们已知三个数：a>b且b>c——由“大于”定义：a，b，c各确定三个分划1,2,3，其中1的下组包含2的下组，2的下组包含3的下组，那么由集合论也好，或者简单的逻辑推理也好，1的下组包含3的下组——即：a>c。（证毕）
所以“无理数的序”满足“传递性”。
今天我们来继续验证：
8辅助命题（——实数的稠密性+从“极限”的观点定义“相等”）
5实数稠密性
我们任取两个实数a>b：
由“大于”定义，a确定分划的下组包含b确定的下组；
由“有理数分划”的定义，a确定的下组中至少有一个有理数r，不在b确定的下组内，即在b确定的上组内；
由“无理数与有理数的比较”内容知，r在a确定的下组，所以a>r，r在b确定的上组，所以r>b；
整理得有理数r，使得a>r>b。
即在任意两个实数之间，必然存在一个有理数。（证毕）
所以“无理数的序”具有“稠密性”。
书上做了如下说明：
实数的稠密性，仅仅是说“任意两个实数之间必然存在实数”，然而这个证明说明了，“任意两个实数之间必然存在有理数”，这个性质比仅仅“存在实数”要精确多了，所以说是更强的性质。
6从“极限”的观点定义“相等”
在此之后，书上引入了一个新颖的牛逼的有趣的非凡的小命题，当然也是一个极其有用的小命题，便是：
这条命题提出了一种全新的对“相等”的定义方式：意思是说，如果一对实数a，b始终比有理数s大，比有理数s'小，而s与s‘的距离是可以“无限接近的”（无限接近的定义：对任意实数e，e>s’-s），那么a=b。
书中用反证法：假如a>b——
由实数的稠密性，存在有理数r，使得a>r>b，同理，存在有理数r'，使得a>r'>r，即a>r'>r>b；
r'>r，由不等式运算性质，两边同时减去r，则r'-r>0，令e1=r'-r；
由命题，s‘>a>b>s，结合2，s'-s>a-b>r'-r=e1（导出矛盾）
因为命题要求，任意的（所有的）实数e，e>s'-s，但是如果a不等于b，则会存在一个是e1，使得s'-s>e1，所以在任何情况下，a与b不相等的情况都不成立，即a=b。
说明：
1.“任意”在逻辑里叫“全称量词”，就是对于所有情况下的一个评价，是一个很严格的说法，比如说，老碧读的任意一本书都没读懂，意思即是，我读懂的书为0；
2.因为“任意”是很严格的说法， 所以它的对立面就很简单，只要存在一个不成立，即可推翻，所以很容易想到用“反证法”，“任意”的反面是“存在”，比如，说明一里的例句的对立就是：还是存在那么一本书，老碧读懂了的，意思是，老碧虽然学习不咋地，但是也读懂过至少一本书；
3.用极限的思想去定义“等于”是有些“反直觉”的，可以先接受这种思想再说，然后，明天老碧会拿一个例子继续说明。
我们明天见！
