一道题引发的惨案 MRN的数学之旅 第1篇

写在前面：

在我的专栏当中，可能会出现各种各样的题目，而我的做法可能千奇百怪（包括但不限于：暴力计算、一些“玄学”的变换、Desmos、WolframAlpha）。所以，为了方便大家的理解，我会尽可能详细的写出思路的产生过程。其它的说明在序言里了。（惨案见文中）

第一眼看上去，这道题难度肯定不小（一般题目长度和难度成反比）。但不要害怕，我们一步一步来。

首先，我们不知道曲线的形状，不过这没什么关系，因为我们有Desmos，可以轻松画出图像。

从图上可以看出，这条曲线不是简单（没有自交点）曲线，因此难以直接计算所围的面积（不能直接使用格林公式）。

经过简短的计算（这相当于一道高中难度的三角函数题），我们还可以得出以下的信息

由表格可知，当0≤t≤π时，图像在x轴及其上方；当π≤t≤2π时，图像在x轴及其下方。并且，对于0≤t≤π和π≤t≤2π这两种情况，图像都是以（1，0）为起点和终点的闭曲线。

因此我们把曲线所围的区域（记为D）分为上下两部分：x轴以上部分记为C¹，x轴以下部分记为C²，则有：

再将曲线的参数代入其中，可以得到：

这里，我们用到了以下两个公式：

容易求得（使用一次积化和差公式，再使用两次分部积分）

（在算到这里时，因为某些我也不知道的原因，我算了三次都没算对，最后借助WolframAlpha才得到答案，并且计算太多，积劳成疾（滑稽），还得了感冒）

使用牛顿-莱布尼茨公式，我们可求得第一个积分值为-16/9（为什么是负的？留作习题。提示：注意前面的划线部分，积分没有算错），第二个积分值为16/9。也就是说，这两个积分值的和为0。所以，这块区域的面积为0。但这显然是不可能的。所以，上面的解答存在一定的问题。至于问题出在哪里，大家可以自己思考一下，这也留作习题。

文中留作习题的部分，大家可以把自己的答案写在评论区里，在下一期专栏中，我会公布我的答案，供大家参考。其它说明详见序言。

创作不易，希望看了这篇文章后，能给予我一些支持，我将万分感谢你的鼓励。

By MRN,2019.4.7