【数学基础124】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep40】数列性质一小波攻势中的预备定理2：有界数列乘以无穷小的积还是无穷小。

参考资料：

1. 《数学分析》（陈纪修 於崇华 金路）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 金路）》）——

求下列数列的极限：

1. lim[（n^2+1）^（1/n）-1]sin nπ/2；

2. lim{n^（1/2）*[（n+1）^（1/2）-n^（1/2）]}；

3. lim{n^（1/2）[（n^2+1）^（1/4）-（n+1）^（1/2）]}.

解：

a.根据定理：有界数列乘以无穷小的积还是无穷小——

1. 易得：

   lim[（n^2+1）^（1/n）-1]

   =lim[（n^2+1）^（1/n）]-1

   =1-1=0，

   并且|sin nπ/2|<=1；

2. 所以：lim[（n^2+1）^（1/n）-1]sin nπ/2=0.

b.分子有理化——

1. lim{n^（1/2）*[（n+1）^（1/2）-n^（1/2）]}

   =lim{n^（1/2）/[（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]}

   =lim{1/[（1+1/n）^（1/2）+1]}

   =1/2.

c.分子有理化——

1. lim{n^（1/2）[（n^2+1）^（1/4）-（n+1）^（1/2）]}

   =lim{n^（1/2）[（n^2+1）^（1/2）-（n+1）]/[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）]}

   =lim[-2n^（3/2）]/{[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）+（n+1）]}

   =lim（-2）/{[（1+1/n^2）^（1/4）+（1+1/n）^（1/2）][（1+1/n^2）^（1/2）+（1+1/n）]}

   =-1/2.

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——

设OPi=ri（i=1，2，3），试证P1，P2，P3三点共线的充要条件是存在不全为零的实数λ1，λ2，λ3使得λ1r1+λ2r2+λ3r3=0，且λ1+λ2+λ3=0.

证：

（必要性——）

1. P1，P2，P3三点共线，即向量P1P2//P1P3，即存在实数a，使得P1P2=aP1P3；

2. 由1：r2-r1=a（r3-r1），即（a-1）r1+r2-ar3=0，即λ1=a-1，λ2=1，λ3=-a，且λ1+λ2+λ3=0.

（充分性——）

1. 已知λ1r1+λ2r2+λ3r3=0，且λ1+λ2+λ3=0，则-（λ2+λ3）r1+λ2r2+λ3r3=0；

2. λ2（r2-r1）+λ3（r3-r1）=0，即λ2P1P2+λ3P1P3=0，P1P2=（-λ3/λ2）P1P3，即向量P1P2//P1P3，P1，P2，P3三点共线。

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

是否存在二次函数y=ax^2+bx+c，其图像经过下述4个点：

P（0,2），Q（-4,1），M（-1,3），N（1,2）.

证明：二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点P、Q、M、N，当且仅当下述线性方程组有解——

1. c=2

2. 16a-4b+c=1

3. a-b+c=3

4. a+b+c=2

相应的阶梯方程组出现方程“0=-11”，因此原线性方程组无解。从而不存在二次函数，其图像经过P、Q、M、N。