嗨咯各位朋友！鸽了太久，还记得我咩？

首先说声抱歉，因为学业繁忙，所以就没再写下去了.（毕竟我对我的学业还是比较认真的，不管是主修还是选修(´ . .̫ . `)）

emmmmmm扯远了，还是进入正题

引入

我们先来回顾一下，求

可能大家的反应是：换元！

没错，这道题用换元法的确可以很快做出来。

但是，还有其他的解法，即凑微分法：（为了方便理解，我引入了中间量t，实际解题过程中我们没有必要引入这个量）

好的我们来解读上面的过程：

首先我们凑了微分，关注这个dx是如何变成d（2x）的

在前面学导数的时候，我们知道导数可以用d[f(x)]/dx表示，即

所以有d(2x)=2 dx，即dx=d(2x)/2

于是代入，就有

接下来就是很简单的解积分了。

(其实凑微分法本质还是换元)

提升

我们不可能停留在上面的例题，那道题太简单了

例1.求

过程如下：

解析：

首先我们要关注x∧4+1，因为它的导数就是4x∧3

因此就有

于是dx=d(x∧4+1)/4x∧3，代入就转换成解幂函数的积分问题了

例2.求

看起来有些复杂，其实方法还是一样的：

来看以上的过程，关注2-5x

对它求导 即d(2-5x)=-5 dx

也就是dx=-d(2-5x)/5，代入就转换为解幂函数的问题

是不是很简单？下面的例题就有难度了。

例3.求

首先看到这个积分，你会怎么凑微分?是把-x∧2+x+1看做一个整体然后求导?好像不行吧......

我是这么解的：

是不是很懵逼？没事，且听我分解。

首先我把这个被积函数进行恒等变换，在这里也就是将分母配方了(配方法是初中学的，所以这里不再细讲如何配方)

我们神奇的发现，这个x–1/2貌似求导后为1，也就是

所以就把这个积分变成了

问题又来了，这个积分又怎么解啊？

接下来我们要利用三角换元法来求解这个积分(这个方法我会在下一节讲解)

我们先建立一个三角形△

根据分母，可以得到

因此就有

把这个x–1/2代入到被积函数，就有

又因为

代入，得

又因为

所以

即

OK.

最后祝大家新年快乐哦！