郑涛（Tao Steven Zheng）著

【问题】

贝尔特拉米等式（Beltrami identity）是以意大利数学家欧金尼奥·贝尔特拉米（Eugenio Beltrami，1835-1900）的名字命名的，是变分法（calculus of variations）的一个有用的结果。

证明欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）

可以写为

然后证明如果 不显含时间时 ，可以与一个更简单的方程等效

其中 为待定常数。

提示：用 和 。

【题解】

（一）把全导数（total derivative）

改写为

还有

将以上两个表达式代入

得

简化此结果，然后分解出 ：

去除 得

所以

等价于欧拉-拉格朗日方程。

如果 不显含时间时 ，那么 ，所以

因此，

其中 为待定常数。