14.7克鲁斯卡尔算法

2022-02-05 18:03 作者:取悦疾风 0人读过 | 我要投稿

内容来自尚硅谷Java数据结构与java算法（Java数据结构与算法）_哔哩哔哩_bilibili

写在前面:本文内容大致和原视频内老师的笔记内容相同，会偶尔插入自己的注释和理解，尽量会完成作业

这集看的我困的要命，从入门到放弃还真不是说着玩玩的...

14.7.1应用场景-公交站问题

看一个应用场景和问题

1) 某城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通

2) 各个站点的距离用边线表示(权)，比如A-B距离12公里

3) 问:如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

14.7.2克鲁斯卡尔算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路

具体做法:首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

14.7.3克鲁斯卡尔算法图解说明

以城市公交站问题来图解说明克鲁斯卡尔算法的原理和步骤:

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克鲁斯卡尔算法图解

以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。

第1步:将边<E,F>加入R中。

边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第2步:将边<C,D>加入R中。

上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第3步:将边<D,E>加入R中。

上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第4步:将边<B,F>加入R中。

上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和己有的边构成回路;因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。

第5步:将边<E,G>加入R中。

上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中

此时，最小生成树构造完成!它包括的边依次是:<E,F><C,D><D,E><B,F> <E,G> <A,B>。

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:

问题一对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

如何判断是否构成回路–举例说明（如图)

在将<E,F><C,D><D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点:

(01)C的终点是F。

(02)D的终点是F。

(03)E的终点是F。

(04)F的终点是F。

关于终点的说明:

1)就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好(A-B-C-C-D-E-F-G)之后;某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。

比如上图中C-D-E-F,F在排序中是最靠后的，所以是最大的，所以，在CDEF这条线的任意节点上出发，最终都会走到F,所以F是终点

2)因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。【后面有代码说明】

14.7.4克鲁斯卡尔最佳实践-公交站问题

看一个公交站问题:

1) 有北京有新增7个站点(A,B,C, D, E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通

2) 各个站点的距离用边线表示(权)，比如A - B距离12公里