不定积分的性质

牛顿395、不定积分的性质

 

2014-03-20，网友“医者仁心326”上传名为《不定积分的概念和性质》的文档。

…不，定，积、分、积分，定积分，不定积分：见《牛顿353~394》…

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

文档内容：…

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

三、不定积分的性质

 

性质1 两个函数代数和的积分 等于其各自积分的代数和，即

∫[f（x）±g（x）]dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx

…∫：积分符号，为字母s的拉长…见《牛顿338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

 

证明

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

等式左边的导数为{∫[f（x）±g（x）]dx}’=f（x）±g（x）

…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

等式右边的导数为

[∫f（x）dx±∫g（x）dx]’

=[∫f（x）dx]’±[∫g（x）dx]’

=f（x）±g（x）

 

故性质1成立。

（“左右两边导数相等，即左右两边原函数相同。”现代学者说。）

显然，性质1对“被积函数为有限多个函数的代数和”时也成立。

性质2 常数因子可由积分号内提出，即∫k f（x）dx=k∫f（x）dx （k是常数，k≠0）

 

证明 对该等式左、右两边分别求导，得

[∫k f（x）dx]’=k f（x）；

[k∫f（x）dx]’=k[∫f（x）dx]’=k f（x）。

由于两边的导数相等，故性质2成立。

“求已知函数的不定积分的过程，叫做对这个函数进行不定积分。

请看下集《牛顿396、积分方法，不可积函数》”

若不知晓历史，便看不清未来

欢迎关注哔哩号“中国崛起呀”