Maxwell应力张量的物理意义是什么？
上一篇笔记讨论了动量守恒：
其中
但是对Maxwell应力张量的物理意义还留着一些问题。
如果把电磁场想像成固体的话，-T就相当于这个固体的应力张量。但是这个只是形式上的类比，对于固体你可以说原子之间的作用，但是对于电磁场，free space之间的作用力算什么？施力者是谁？受力者又是谁？实际上根本不存在。实际上这里压根不应该用“力”这个概念，而应该用更本质的“动量”概念。从动量来理解，T刻画的无非是两块区域的电磁场之间的动量交换罢了。涉及粒子的动量交换体现为力，对于电磁场，动量交换就单纯是动量交换，没有什么”力“的概念。
所以说，“应力张量”只是一个类比的说法，同理，“光压”p=u/3也只是一个类比的说法。真正的物理含义必须退回连续性方程，即动量交换。
再次强调一次，关于电磁场能量和动量的困扰，都必须回到连续性方程去解决。
所以综上所述，电磁场中每一个点都有一个应力张量，它可以类比为“应力”，但不是应力，只是电磁场动量的交换速率，并不存在一个“电磁场的应力”。
但是我们看到很多地方用T来计算光对介质的作用力，这又是怎么回事？难道T真的代表某种力？下面仔细研究这个问题。
首先来看积分形式的动量守恒：
物理意义很明显，一个区域内部总的动量变化，等于外界输入的动量。
所有的经典电磁学规律都蕴含在Maxwell+Lorentz里面，没有任何多出来的部分。所以光压本质上就是Lorentz力，而不是一个基于应力张量计算出来的新的力。应力张量是包含了Lorentz力在里面的。
很多note给我们这样一种误导：光压就是来自于Maxwell应力张量点乘dA。这个说法大错特错。光压就是Lorentz力，如果你想用Lorentz力的公式去计算，结果肯定是完全一样的。用Maxwell应力张量算，只是换了一个角度来计算罢了。
Lorentz力公式着眼点在于微观的单个粒子受力；而积分形式的动量守恒公式则着眼于宏观的受力。就像很多时候，我们不需要知道能量转化的具体原子机制，就可以通过能量守恒计算出能量转化的精确数值，对于动量也是一样的，动量转移的具体原子机制是一个个小的Lorentz力，但是用动量守恒可以绕开具体的原子机制计算宏观的动量转移。微观的Lorentz力公式和宏观的动量守恒是吻合的，怎么方便怎么算，本质上是一回事。
所以动量守恒其实给我们提供了一种绕过微观机制计算物质受电磁力的方法。比如说，对于稳恒的电磁场，画一个Gauss面把物质圈在里面。电磁场是稳恒的，所以p_{field}是一个定值。积分形式的动量守恒给出：
从动量守恒的角度看，这个式子平平无奇：输入区域内的动量，没有增加电磁场的动量，所以全部跑到粒子身上去了。但是从信息的角度看，「只需要知道物体周围一个曲面上的电磁场，就可以知道物体受的总的电磁力」。这是相当神奇的。可以这样理解：
（比如说）电磁波打进来，物体产生一个散射的电磁场。一个面上的散射场和入射场的信息，就包括了这个物体受电磁力的所有信息。
这就是用Maxwell应力张量计算物体受电磁力的方法：绕一个Gauss面，计算总的“应力”。这个宏观方法可以和Lorentz力这个微观方法平行适用，有时候非常简便。特别是，如果我们不清楚物质具体的微观机制，但是对于宏观的信息有了解，那么动量守恒是个好办法。
因此，Maxwell应力张量并不代表“真正”的力，只是代表电磁场的动量交换，但是它可以用来计算物体所受的“真正”的力。很多书上/讲义上用Maxwell应力张量来算物体受力，其实背后隐含的意思是“用动量守恒算力”，但是很容易给人一种错觉“Maxwell应力张量本身就代表了力”（点名批评zhq讲义）。这样我们就完全阐释清楚了Maxwell应力张量的物理意义。
最后我们举几个例子来试试如何用应力张量算宏观受力。
【1】一束光以角度\theta打在薄板上，完全吸收（黑体），求光压。
理论上可以用Lorentz力算，有吸收就代表电子和电磁波有相互作用嘛，表面上的这些电子受到的总的Lorentz力就是宏观的光压。但是问题在于我们不知道材料的具体细节。所以用动量守恒算是比较好的。
首先，我们说的光是平面电磁波。Maxwell方程的平面波解为：
基本的性质：光速，横波，E,B,k构成右手坐标系。
在薄板上取一个Gauss面，我们发现dA这个小块受力为-T*n dA。计算得到时间平均的受力为：
其中I为辐照度（irradiance），即Poynting矢量的时间平均。
1.当\alpha=90度的时候，这个公式就变成我们熟知的光压公式P=I/c。P为光造成的压强。
2.当\alpha=0的时候，相当于光完全侧向打过来，当然没有光压。
3.当\alpha=45度的时候，横向的力最大。
一般用的公式就是直射公式P=I/c。很明显，光强和光压成正比，比例系数对比一下单位就知道是c。
因为除了一个c，所以我们可以看到光压是一个很小的力。阳光的辐照度为1367 W/m2，计算出光压为4.6 µPa。且不说皮肤，看看更加敏感的人耳，其最低感受到的压强为2 × 10-5 Pa，比光压高了一个数量级。不过说起来光的频率太高，跟耳膜的固有频率差太远，即使光压足够大，还是很难听到的。
BTW，说一下另外一件事。有个叫Crookes辐射计的东西，在很多地方能见到，有时候用来演示光压：
用光照射时，暗面远离辐射源，亮面靠近辐射源。这其实并不是光压，光压太小，没法把摩擦力做这么小让它能敏感到感受光压。况且，如果真的是光压驱动，也应该是亮面原理辐射源才对。另外这个灯泡里面是部分真空的，不能完全真空，如果完全抽成真空就动不了了。这也能证明并不是光压驱使着它转。正确的解释其实到现在还有争议，但是至少我们可以确定这是一个热力学效应。部分的解释是，黑色一面吸收光之后温度更高，气体分子撞上去之后吸收热量以更高的速率反弹，给予了更多动量，于是黑色一面远离光源。
【2】光镊的作用机制，也可以用Maxwell应力张量算，感兴趣的读者可以读一篇小短文Forces in Optical Near Fields by Lukas Novotny，这里不展开。
【3】一个静电学题。有一个球体（r），均匀分布了电荷Q。求南半球对北半球的作用力。
要是你喜欢就直接积分算喽，并没有什么大不了的，只不过好像要六重积分？这里我们炫一下技，用Maxwell应力张量算。
画一个大半球（R）把北半球包裹起来。
在半球上，容易算出RHS为Q^2/(32\pi\epsilon_0R^2)。
在平面的内部，RHS为Q^2/(64\pi\epsilon_0r^2)
在平面的外部，RHS为Q^2/(32\pi\epsilon_0r^2)-Q^2/(32\pi\epsilon_0R^2)
所以总和为3Q^2/(64\pi\epsilon_0r^2)。这是正确的答案，而且计算过程应该要简单一点；虽然有点高射炮打蚊子的感觉。这套路倒是比较稀奇，用动量守恒算库仑力。
