偏微分方程？

题目选自2022年考研数学二

已知可微函数满足:

且

(1)记，求

(2)求函数表达式和极值

解:(1)令

则

所以

(2)因为

对积分得到

因为

所以

令

当时

所以为极小值点

当时

所以不是极值点

所以的极小值为

本题选自2022年考研数学二，实际上该题为偏微分方程的定解问题，偏微分方程并不属于考研数学的大纲要求内容，但是正如所见，命题人在第一小问给出函数的提示，将偏微分方程转化为带关于带参数的不定积分的形式，使题目求解成为可能。

这个题目告诉我们，考研数学可能考察一些超纲的知识，包括2022年考研数学二中瑞利商和2022年考研数学一中条件期望问题等，但是会给予一定的提示。

当然我们在平时练习的时候，在学有余力的情况下，也可以通过题目去适当了解一些，比如本题中考察到的偏微分方程，实际上，在数学系或者一些数理要求较高的专业所开设的偏微分方程课程中，常见的一种处理方法有分离变量法，这种方法就是将二元函数分解成两个函数乘积的形式，即，这样带入偏微分方程即可分解成两个常微分方程的形式，进行求解。

回到本题中，抛开偏微分方程这个超纲的内容，从大纲角度看，本题是一道极具综合性的题目，从第一小问的偏微分变换，到带关于带参数的不定积分求解，最终确定二元函数并求解极值，总体上，考察了3-4个知识点。

在二元函数极值求解及判断的计算过程中，不建议直接求二阶偏导数，因为对于待定的极值点，其一阶偏导数必为0，所以在求对应点的二阶偏导数时，可以通过导数定义的方法求解，这样计算量会减小，虽然，我前面所写的用定义求二阶偏导数过程好像内容比较多，但是实际上比直接带参数x,y直接求更不容易出错。