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【上海高考】用卡西欧计算器秒杀无参数数列题

2023-06-26 04:09 作者:世界D1  | 我要投稿

上数学课摸鱼所作(逃),灵感来源于同学看到过的计算器使用教程,我探究其原理,证明其严谨性,总结和发展了其计算方法

1. 从一个例子开始

有一道数列的填空题如下(好像是我做过的练习卷的第12题):

满足 x_%7Bn%2B1%7D%20%3Dx_%7Bn%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bf(x_%7Bn%7D)%7D%7Bf'%7B(x_%7Bn%7D)%7D%20%7D%20 的数列 x_%7Bn%7D 叫做牛顿数列,已知f(x)%3Dx%5E2-1 ,  x_%7Bn%7D为牛顿数列,设 a_%7Bn%7D%3D%5Cln%7B%5Cfrac%7Bx_%7Bn%7D-1%7D%7Bx_%7Bn%7D%2B1%7D%20%7D, 已知 a_%7B1%7D%3D2,求 a_%7Bn%7D 的通项公式

解:

a_%7B1%7D%3D2 代入an的关于xn的公式,可知 x_1%20%3D%20%5Cfrac%7B1%2Be%5E2%7D%7B1-e%5E2%7D

在计算器中输入 Rec(Pol(x%2B%20%5Cfrac%20%7Bx%5E2-1%7D%7B2x%7D%2C%20%5Cln%7B%5Cfrac%20%7Bx-1%7D%7Bx%2B1%7D%7D)%2C%20y)

点击Calc,代入x = x1, y = a1,其中等号右侧用刚算出来的值代入,按等号键

第一次按等号键 y = 4 ,再按等号键 y = 8 ,第三次 y = 16

显然,猜测得 a_n%3D2%5En

因为是填空题,具体问啥我忘了,反正算出an的通项公式就能做出来

你可以尝试不使用计算器做这道题

你可能好奇为什么用计算器能按出来这道题的答案,或者计算器中为什么输入Rec和Pol

这一切都要从Rec和Pol的性质讲起

2. Rec和Pol运算

(以下讲解听不懂也没关系,你只要知道Rec和Pol是一对逆运算,我们使用其为变量赋值)

卡西欧计算器的Rec函数接受两个参数,Rec(r%2C%5Ctheta%20)

其中r是某点到原点的距离,%5Ctheta%20是x正半轴射线转到原点-某点射线所成的角度

返回两个值x、y,其中x是某点的横坐标,y是某点的纵坐标

卡西欧计算器的Pol函数接受两个参数,Pol(x%2Cy)

其中x是某点的横坐标,y是某点的纵坐标

返回两个值r、%5Ctheta%20,其中r是某点到原点的距离,%5Ctheta%20是x正半轴射线转到原点-某点射线所成的角度

实际在计算器中运算时,这两个函数会将自己的返回值分别赋值给x、y,并使用x参与计算

Rec和Pol是一对逆运算

用python代码表示如下:


3. 定理

由Rec和Pol函数的性质,我们可以得出以下定理

Rec(Pol(f(x%2Cy)%2Cg(x%2Cy))%2Cy)%3Df(x%2Cy)%2Cg(x%2Cy)    记作定理(1)

会将f(x,y)的值赋值给x,将g(x,y)的值赋值给y

Pol(Rec(f(x%2Cy)%2Cg(x%2Cy))%2Cy)%3Df(x%2Cy)%2Cg(x%2Cy)%20%5Cbmod%202%5Cpi%20    记作定理(2)

会将f(x,y)的值赋值给x,将g(x,y) mod 2pi的值赋值给y

其中 f(x%2Cy) 是包含x、y变量的表达式,mod指实数模运算,定义如下:

    a mod b = c

满足a、b、c为实数,n为整数,a-b%20%5Ccdot%20n%20%3D%20c%200%5Cle%20c%20%3C%20b%20

因为在计算角度时,角度必须在0到2%5Cpi区间内,所以要完成数列计算,我们应选择定理(1)

4. 使用

例如计算两数列x_n%2Cy_n,定义如下

x_%7Bn%2B1%7D%3Dx_n%2By_n(n%20%5Cge%202)

y_%7Bn%2B1%7D%3Dx_n%5Ccdot%20y_n(n%20%5Cge%202)

x_1%3D1%2Cy_1%3D1

在计算器中输入

    Rec(Pol(x+y, xy), y)

按下Calc键,令x=1,y=1

多次按下等号键,即可迭代数列

同时可以为x数列求前n项和

计算器中输入

   A = A + Rec(Pol(f(x,y,A), g(x,y,A)), y)

其中f(x,y,A)和g(x,y,A)是包含变量x,y,A的表达式

计算的数学意义如下:

x_%7Bn%2B1%7D%3Df(x_n%2Cy_n%2CA_n)(n%20%5Cge%202)

y_%7Bn%2B1%7D%3Dg(x_n%2Cy_n%2CA_n)(n%20%5Cge%202)

A_%7Bn%2B1%7D%3DA_n%2Bx_n(n%20%5Cge%202)

你可以使用Calc为x_1%2C%20y_1%2C%20A_1赋值

该计算的python代码表示如下:

如果你想让它自动停止计算,例如 x = 10 时停止,你可以在算式后面加上%5Cfrac%7B0%7D%7Bx-10%7D%20,然后狂按等号,当报错时就会停止计算


以上计算数列的方法可以用在大部分不带参数的数列计算题上

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