平面几何题目分享（18）利用向量和相似解决一道四点共圆问题

如图，H为△ABC的垂心，E为直线CH上一点，M为EH中点，作EF⊥BH，垂足为F，圆（AFB）与圆（BHC）再次交于P点，设两圆圆心分别为I，J。求证：IMPJ四点共圆。

首先观察点的生成，不难发现ABCE都是比较“自由”的点。点J虽然是一个圆心，不过圆（BHC）也是很好刻画的一个圆。而圆（AFB）以及之后生成的点I，点P不是熟知的，所以我们把重点放在刻画圆（AFB）上。

我们考虑在圆（I）上的点B，∠FBC=∠HAC=∠DAF，继而∠DAG=∠FAK，所以△DAG∽△FAK。所以AG/AK=DG/FK。为什么关注AG和AK两条边呢？我们注意到，△AHK∽△AGC，所以AG/AK=CG/HK=DG/FK。即DG/CG=FK/HK。又因为EF∥AC，所以FK/HK=EC/HC。即EC/HC=DG/CG。过D作DL⊥BC交CE于L，由上述比例，易得M是CL中点。同理，易得圆（I）与AC的另一个交点是L关于AC的投影。

有了点A关于M的对称点L的帮助，我们对圆（I）位置的掌握更进一步。

得陇望蜀，我们就着点L继续探索圆（I）的性质。由LD⊥BC，延长DL再次交圆（I）于点N，显然BN是直径，即I为BN中点。到这里我们发现，点I的位置与点N有着很大的关系，于是我们转而研究点N的性质。由直径BN，AN⊥AB，所以AN∥CL，同理AH∥NL，所以四边形ANLH是平行四边形。又因为M是CL中点，易得向量IM=1/2（向量NL+向量BC）=1/2（向量AH+向量BC）由圆BHC的性质，1/2（向量AH+向量BC）=向量BJ。所以向量IM=向量BJ，即IMJB是平行四边形。

到这里，我们的证明就基本结束了。由平行四边形，得∠IMJ=∠IBJ。而∠IMJ正式我们要证的共圆中的一个圆周角，所以我们只要证∠IPJ=∠IBJ。由圆的对称性，B，P均关于IJ对称，所以这两个角相等是显然的。于是本题得证。