Problem Set 1

说明：

本专栏为个人向的题目整理，题目一般选自模拟题集（如：中等数学增刊1），国内外试题（如：IMO Shortlist），个人在刷的一些书籍（小蓝皮，命题人讲座等）。不定期更新，一般发上来的都是本人做过的题，感觉还不错，当然由于本人水平不高（尤其是代数），所以可能在座各位会觉得有些会很水...

题目的话整理成了二试的形式，总共四道题，难度递增排序。总共有代数（Algebra，简称A），几何（Geometry，简称G），数论（Number Theory，简称N），组合（Combination，简称C）四个板块，不出意外的话一个板块一道，但不排除哪天心血来潮看到很多好题于是全是某个板块的题...

解答应该会在下一期发出。

那么就康康今天的题吧。

一（A1）、证明：在锐角△ABC中，cot³A+cot³B+cot³C+6cotAcotBcotC≥cotA+cotB+cotC。

二（G1）、如图，四边形ABCD内接于⊙K，BD与AC交于点F，AB与CD交于点E。设△AEF的外接圆⊙O与⊙K的第二交点为H。HD与EF交于I，J为KO中点，证明：AJ=JI。

三（N1）、证明：存在k∈N*，使得对任意n∈N*，均有k×2^n+1为合数。

四（C1）、现有16个不同的硬币，其中8个重10克，8个重11克，其中一个硬币是有标记的。试用一个无砝码的天平（即每次只能放上两组硬币，可测出左右硬币和的大小关系）称3次测出这个硬币的重量。