高中数学基础与解法全集（涵盖所有）|长期更新|从零开始拯救所有学渣！通俗易懂|竞

【立体几何超全笔记】

P133~144（主页持续更新）

①最大最小值问题

函数法

V球＝4/3ΠR方→R＝1

面积法得出R与l的方程

两边平方，用R的函数表示l

l所得值如图

分母集体换元

基本不等式一步到位

总结分析：运用面积法，还原法，基本不等式

②动态图形研究

临界法

对图形进行直接分析

找到符合条件的临界值

注意分析临界值是否可取【！】

最终确定得出最大最小值或值域

------------------------------------分割线------------------------------------

平面的定义与公理【难死我了55555真的很难不哭】

平面定义： 没有边界无限延伸（例如课桌不可以称为平面，因为其有边界）

点与平面的关系

A∈α

B×∈α

C∈α

线与面的关系

公理①

如果一条直线上的两点在同一平面内，那么这条直线在此平面内（两点确定一条直线，三点不共线的确定一个面）

A∈l，B∈l，A∈α，B∈α→l （α

公理②

过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面（若三点共线，可以画出无数个面）

公理③

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么她们有且只有一条过该点的公共直线（相交）

P∈β，P∈α，P∈α∩β→l＝α∩β且P∈l

直线与直线的关系

①共面

a.相交（一个公共点）

b.平行（没有公共点）

②异面（没有交点）

公理④

平行线的传递性

a1∥a2，b1∥b2 →α＝β或α＋β＝180

<a‘，b>锐角（包括直角）

【注意】异面直线可以垂直，记做a⊥b

异面直线不可以平行（平行直线一定共面）

经典题型：找垂直，平行，异面等

平面与直线的关系

①直线在平面内，即l（α【有无穷个公共点】

②直线与平面相交，即 l∩α＝A【有且仅有一个公共点】

③直线与平面平行，即l∥α【无公共点】

【注意】直线在平面外包括②③

【线面平行的判定与性质】

a.判定

Ⅰ.a×（α，b（α，a∥b→a∥α

Ⅱ..a⊥b，b⊥α，a×（α→a∥α

b.性质

Ⅰ.a∥α，a（β，α∩β＝b→a∥b

Ⅱ.a∥α，b⊥α→a⊥b

【线面垂直的判定与性质】

a.判定

a,b(α，a∩b=A，若l⊥a，l⊥b→l⊥α

b.性质

Ⅰ.a⊥α，b⊥α→a∥b

Ⅱ.α∩β=l， α⊥β，a⊥l，a（α→a⊥β

Ⅲ.（用得最多）l⊥α→l⊥a......

平面与平面之间的关系

①平行，即α∥β

②相交【有且只有一个公共线】

a.判定

Ⅰ.α面上两条相交直线都与β平行

a（α，b（α，a∩b＝A，若a∥β，b∥β→α∥β

Ⅱ.a⊥α，a⊥β→α∥β【a称为法向量】

【推论】a⊥α，b⊥β，且a∥b→α∥β

Ⅲ.a（α，b（α，a∩b＝A；c（β，d（β，c∩d＝B；若a∥c，b∥d→α∥β

b.性质

Ⅰ.α∥β，a（α→a∥β

Ⅱ.α∥β，a⊥α→a⊥β【判定Ⅱ逆推】

【二面角与面面垂直】

二面角定义与表示方法（见下图）

取值范围 [0°~180°]

【面面垂直】

a.判定

a（α，α⊥β→α⊥β

b.性质

α⊥β，α∩β=l，a⊥l→α⊥β

【延申】三垂线定理（！不可直接用）

a.定理

b.推理

PQ⊥α，a(α→PQ⊥α

OQ⊥a，PQ,OQ（面POQ，PQ∩OQ＝Q

∴a⊥面POQ，PQ（面POQ，a⊥PQ

【判定与性质定理习题课】

例题1

例题2

例题3

【外接球之墙角模型】

！：补出长方体，求出长方体外接球半径（体对角线的一半）即为三棱锥外接球

【外接球之外心法】

外心：三角形三条边的垂直平分线的交点

【题目中长度条件特别多时注意探究线段长度之间的关系（常出现直角等特殊角度）】

【存疑】

【外接球之特殊求法】

bingo♥

列等式！！！√