【数学基础125】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 定义：设a1，a2，…，an是n个正数，则分别称

   （a1+a2+…+an）/n，（a1a2…an）^（1/n），n/（1/a1+1/a2+…+1/an）

   是它们的算术平均值、几何平均值和调和平均值。

2. 平均值不等式：对任意n个正数a1，a2，…，an，有

   （a1+a2+…+an）/n>=（a1a2…an）^（1/n）>=n/（1/a1+1/a2+…+1/an），

   等号当且仅当a1，a2，…，an全部相等时成立。

3. 夹逼准则：若三个数列{xn}，{yn}，{zn}从某项开始成立xn<=yn<=zn，n>n0，且lim xn =lim zn=a，则lim yn=a.

4. 两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是存在多项式u（x），v（x），使得u（x）f（x）+v（x）g（x）=1；

5. 如果（f1（x），g（x））=1，（f2（x），g（x））=1，那么（f1（x）f2（x），g（x））=1.

参考资料：

1. 《数学分析》（陈纪修 於崇华 金路）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《大学教材全解 高等代数（北大第三版）》（总策划：薛金星 主编：刘建波）

数学分析——

例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 金路）》）——

求下列数列的极限：

1. 若lim an=a，则lim（a1+a2+…+an）/n=a；
   

2. 设an>0，lim an=a，求证：lim（a1a2…an）^（1/n）=a；
   

3. lim（1/n！）^（1/n）.

解：

i.分类讨论（由特殊到一般）——

当a=0时——

1. lim an=0，即对任意小数ε>0，存在N1∈N*，当n>N1时，|an|<ε/2；
   

2. 对于给定的N1，a1+a2+…+aN1为一个常数，则{（a1+a2+…+aN1）/n}为无穷小，即lim（a1+a2+…+aN1）/n=0，即对任意小数ε>0，存在N2∈N*，当n>N2时，|（a1+a2+…+aN1）/n|<ε/2；

3. 取N=max{N1，N2}，当n>N时，

   |（a1+a2+…+an）/n|

   <=|（a1+a2+…+aN1）/n|+|（aN1+1+aN1+2+…+an）/n|

   <|（a1+a2+…+aN1）/n|+|（aN1+1+aN1+2+…+an）/（n-N1）|

   <ε/2+ε/2

   =ε，

   即lim（a1+a2+…+an）/n=0.

当a≠0时——

1. 令bn=an-a，则lim bn=0；

2. 于是，

   lim（b1+b2+…+bn）/n

   =lim[（a1-a）+（a2-a）+…+（an-a）]/n

   =lim（a1+a2+…+an）/n-a

   =0，即lim（a1+a2+…+an）/n=a，证毕。

ii.由均值不等式——

1. （a1+a2+…+an）/n>=（a1a2…an）^（1/n）>=n/（1/a1+1/a2+…+1/an），其中

   n/（1/a1+1/a2+…+1/an）=1/[（1/a1+1/a2+…+1/an）/n]；

2. 由i的结论得到：

   lim（a1+a2+…+an）/n=a，lim1/[（1/a1+1/a2+…+1/an）/n]=1/（1/a）=a；

3. 由夹逼准则：lim（a1a2…an）^（1/n）=a.

iii.

1. 已知lim 1/n=0，则

   lim（1/n！）^（1/n）

   =lim[（1/1）（1/2）…（1/n）]^（1/n）

   =lim 1/n
   

   =0.

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——

设a，b为两不共线向量，证明u=a1a+b1b，v=a2a+b2b共线的充要条件是

证：

充分性——

1. 若a1b2-a2b1=0，则b1=（a1/a2）b2；

2. 则u=a1a+b1b=a1a+（a1/a2）b2b，v=a2a+b2b，于是u=（a1/a2）v，所以u，v共线。

必要性——

1. 若u，v共线，即存在不全为0的数λ，μ，使得λu+μv=0，即λ（a1a+b1b）+μ（a2a+b2b）=0，于是（λa1+μa2）a+（λb1+μb2）b=0；

2. 因为a，b不共线，则λa1+μa2=0，λb1+μb2=0，又λ，μ不全为0，即可得a1b2-a2b1=0.

高等代数——

例题（来自《大学教材全解 高等代数（北大第三版）（总策划：薛金星 主编：刘建波）》）——

设（f（x），g（x））=1，证明：

（f（x）g（x）（f（x）+g（x）），f（x）g（x）+f（x）+g（x））=1.

分析：注意到后一个式子是前一个式子中因式f（x）g（x）与因式f（x）+g（x）的和，逐步分析。

证明：

1. 由预备知识4：已知（f（x），g（x））=1，则存在多项式u（x），v（x），使得u（x）f（x）+v（x）g（x）=1；

2. 由1：[u（x）-v（x）]f（x）+v（x）[f（x）+g（x）]=1，则（f（x），f（x）+g（x））=1；

3. 得到预备知识4的推论：已知（f（x），g（x））=1，则（f（x），f（x）+g（x））=1，同理，（g（x），f（x）+g（x））=1；

4. 由3和预备知识5：（f（x）g（x），f（x）+g（x））=1；

5. 由3、4：（f（x）g（x），f（x）g（x）+f（x）+g（x））=1，且，（f（x）+g（x），f（x）g（x）+f（x）+g（x））=1；

6. 由5和预备知识5：（f（x）g（x）（f（x）+g（x）），f（x）g（x）+f（x）+g（x））=1，证毕。