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n阶方阵A为(非)奇异矩阵的充要条件

2023-01-07 23:15 作者:yy_142857 0人读过 | 我要投稿

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。

$A$ 为非奇异矩阵的充要条件：

$A$ 可逆
$A$ 的列向量组线性无关
$A$ 的行向量组线性无关
$A$ 的行列式不为零
齐次方程组 $Ax%3D0$ 仅有零解 $x%3D0$
非齐次方程组 $Ax%3Db$ 有唯一解 $x%3DA%5E%7B-1%7Db$
$A$ 的(上,下)三角矩阵主对角线元素不为零
$A$ 满秩 $r(A)%3Dn$
标准型是单位阵
列空间是 $R%5En$
行空间是 $R%5En$
有 $n$ 个非零特征值
$A%5ETA$ 对称正定
$A$ 有 $n$ 个正奇异值

$A$ 为奇异矩阵的充要条件：

$Ax%3D0$ 不可逆
$A$ 的列向量组线性相关
$A$ 的行向量组线性相关
$A$ 的行列式为零
齐次方程组 $Ax%3D0$ 有零无数多解
非齐次方程组 $Ax%3Db$ 无解或有无数多解
$A$ 的(上,下)三角矩阵主对角线上有零元素
$A$ 降秩 $r(A)%3Cn$
标准型有全为零的行
列空间维数小于 $n$
行空间维数小于 $n$
有特征值为零
$A%5ETA$ 半正定
$A$ 的奇异值数量小于 $n$

制作不易，求三连！

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