【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep104】函数不定式（四）

今天结束这部分例题：

e.x趋近于0时，lim （1-cos x）/x^2=1/2

1. （1-cos x）/x^2=2（sin x/2）^2/4（x/2）^2=[（sin x/2）/（x/2）]^2/2；

2. x趋近于0时，lim sin x/x=1，则lim（1-cos x）/x^2=1/2

f.x趋近于0时，lim （tan x-sin x）/x^2=1/2

1. 
   

   =（sin x/cos x-sin x）/x^3

   =sinx（1-cos x）/（x^3cos x）

   ={（sinx/x）[（1-cos x）/x^2]}/cos x；

2. x趋近于0时，lim sin x/x=1，lim（1-cos x）/x^2=1/2，lim 1/cos x=1，

   则lim（tan x-sin x）/x^3=1/2.

g.x趋近于π/2时，lim（sec x-tan x）=0

1. x趋近于π/2时，π/2-x趋近于0，于是

   sec x-tan x

   =1/cos x-sin x/cos x

   =（1-sin x）/cos x

   =[1-cos（π/2-x）]/sin（π/2-x）

   ={[1-cos（π/2-x）]/（π/2-x）^2}[（π/2-x）/sin（π/2-x）]（π/2-x）；

2. x趋近于π/2时，lim[1-cos（π/2-x）]/（π/2-x）^2=1/2，lim（π/2-x）/sin（π/2-x）=1，

   lim（π/2-x）=0，则lim（sec x-tan x）=0.

到这里！