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1．「正确答案」？——意想不到

2．把出题者都弄蒙的「概率题」

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在「概率题」中，有的元素是有区别的，但有的没区别，在解题时一定要注意分清两者之间的差异，如果不清楚，可以通过「外部」和「内部」的区别分开简化，今天带来的就是这样一道题目。

一、「正确答案」？——意想不到

【2021年山东省考44题】将15名实习生名额随机分配给12个部门，每个部门至少分配1人。

有部门获取的名额是3的概率是有部门获取的名额是4的概率的多少倍？ 
（A）5.5
（B）6
（C）11
（D）1

有部门获取的名额是3的概率是有部门获取的名额是4的概率的多少倍？ 
（A）5.5
（B）6
（C）11
（D）1

本题正确答案为33，无对应选项。

正确率——，%易错项——

通过之前几篇文章的分析可知，本题当然不能直接去算C（12，3）或C（15，12）的结果，而是要尽量将计算过程简化。

不难看出，「每个部门至少分配1人」=「每个部门先分配1人，然后再分配剩下的人」。

根据「先固定一个位置，再计算接下来的概率」的技巧可知，我们无论给每个部门分配哪个人，总共分配哪12个人，都不影响「最终要将剩余3人分配给12个部门」的结果，因此本题可简化为：

将3人分配给12个部门，「有部门分到2人」的概率是「有部门分到3人」概率的多少倍？

不难看出：
「有部门分到3人」=「3人分到1个部门」
「有部门分到2人」=「2人分到1个部门，1人分到其他部门」
求「分到2人的『概率』是3人的多少倍」=「分到2人的『所有可能次数』是3人的多少倍」

因此本题最简单的做法为：

先从「外部」入手，思考两种情况的对比。

在将题干简化为「将3人分配给12个部门」后，先将「3人中选出2人」，并把这「选出的2个人」视为整体，分配到第1个部门（将「2人」这个元素固定）。

此时可发现，将「3人中的2人」分配到任何一个部门都不影响继续分配「第3个人」的概率，此时：

如果将第3个人继续分配到第1个部门，有1种情况；
将第3个人分配到第2~12个部门，有11种情况。

此时再分析「内部」情况，即「3人中选2人」的可能性。很明显C（3，2）=3，共有3种做法，即最后结果要在刚才计算的基础上再乘以3，答案为11×3=33。因此，「分到2人的『所有可能次数』是3人的33倍」，本题无正确选项。

刚才说的是最简便的方法，如果有的小伙伴不太理解，也可以用另一种方法：

「有部门分到3人」=「3人全部分到1个部门」=12种可能
「有部门分到2人」=「2人分到1个部门，1人分到其他部门」

此时我们需要将「外部」和「内部」分开简化计算。

所谓「外部」，就是指3个人以「2人1个部门」「1人另一个部门」来分配，有多少种方式；所有「内部」，就是指「3个人在确定分配方式后，内部有多少种分配方式」。分开计算「外部」「内部」后，将其相乘即可。

首先求「外部」分配方式数量。

设3个人中的1个人分配给第1部门，则另外两个人需要一起分配到第2~12部门中的1个，共有11种方式。

依此类推，将1个人分配到第2、3……12部门时，另外两个人也有11种方式。

因此总分配方式为12×11种。

然后求「内部」分配方式数量。

可发现3个人分为两部分，第1个人一部分，其余2人一部分，将3人命名为「甲乙丙」，很明显有「甲-乙丙」「乙-甲丙」和「丙-甲乙」3种情况。

因此「内部」分配方式总共为3种。

「有部门分到2人」的总情况数=外部情况数×内部情况数
=12×11×3

「倍数」关系
=12×11×3÷12
=33种，本题无正确选项。

二、把出题者都弄蒙的「概率题」

联考偶尔会出现一些错题，大家也要理解。不过，从这道错题中也能发现，「概率题」不仅很难，而且很细，一不小心就可能做错，甚至可能把出题者都弄蒙了。

本题难在什么地方呢？难在一个细节上。

分析后可以发现，这道题说的是「15名实习生名额随机分配给12个部门」，没有说实习生的名字叫「甲乙丙」还是「张三李四王五」，所以包括出题者在内，很多人潜意识里都觉得「实习生」是没区别的。

但事实上是这样吗？当然不是，没有两个人是完全相同的，我们在计算「3个人分给两个部门，1个部门1人，另一个部门2人」的次数的时候，「甲-乙丙」「乙-甲丙」和「丙-甲乙」当然不是一回事。

如果本题题干是「15个红球放在12个白盒子里」，正确选项就应该是C「11」了，但「实习生」和「红球」的性质不一样，所以这道题的选项均不正确。

总结：

本题相当少见，大概相当于出题者挖了个坑，然后自己「扑通」一下跳进去了，然后……就把所有考生都坑了。

事实上，不考虑选项出错的情况，这道题的陷阱相当巧妙，巧妙点就在于开始的「15人选12人，每个部门1人」是可以直接简化的，因为无论怎么选12人，对结果都没有影响。

但第二步「3人分配给2个部门，1个部门1人，1个部门2人」是不能直接简化的，即「甲-乙丙」「乙-甲丙」和「丙-甲乙」虽然都符合上述要求，但不能混为一谈，是3种不同的情况。

以「2人1个部门」「1人另一个部门」来分配3人，属于「外部」情况；在确定上述分配方式后，是「甲-乙丙」「乙-甲丙」还是「丙-甲乙」，属于「内部」情况。

「内部」「外部」两种情况都要考虑，所以本题的计算较为复杂，最终需要把两种情况相乘，得结果为33。

「人」是一定有区别的，而「球」「瓶子」「面包」等物体如果没有特殊说明，是没有区别的，做题时一定要注意这一点。