2023数分Day60(傅里叶级数3：理论问题举例)

2023数分Day60(傅里叶级数3：理论问题举例)

一、整体感受

涉及到很多课本原型题目，多写多练。

题1原型：课本P81（15.1习题10），课本是1次，这里是k次求导

题2原型：课本P80（15.1习题4、5）

二、需要复习的

1、奇、偶、周期函数性质：奇函数求偶数次导仍然是奇函数

①可导偶函数的导函数是奇函数；

②可导奇函数的导函数是偶函数；

③可导的周期函数的导函数仍然是周期函数.

【数分上P116总练习题】

2、黎曼-勒贝格定理

3、周期性灵活使用

三、具体题目

1【南大】

（1问）

①利用幂级数收敛域，得到其无穷次可微，写出系数cn

②利用f(x)奇函数，得到f(x)的（2k）次导数后必为奇函数

③在利用奇函数性质，只要在原点处有定义，函数值必定为0，于是f^(2k)(0)=0,所以c2k=0，k∈N

（2问）

①先利用周期函数无穷多次求导后仍然是周期函数，同时周期不变，而且可以得到f^(k)(π）=f^(k)(-π），k=0,1,2....

②利用f(x)为奇函数，写出Fourier系数，an^(0)=0,bn^(0)=bn

求出an^(k+1)=n*bn^(k);bn^(K+1)=-n*an^(k)

因此得到|an^(k+1)|+|bn^(k+1)|=n(|an^(k)|+|bn^(k)|)

由此可以递推出来得到|an^(k+2)|+|n(|an^(k+1)|+|bn^(k+1)|)=...=n^(k+2)*|bn|.

③此时利用黎曼-勒贝格定理，得出an^(k+2)和bn^(k+2)的极限为0，把n^(k+2)*|bn|拆成两项n^2和n^k*|bn|,此时利用正项级数比较原则推论，得到其收敛

④在观察到题干要求的然后做一次放缩，得到一致收敛。

先得出f^(k)(x),再得到f^(2k-1)(x)，

⑤最后取x=0，再由题干要求得到c2k-1.

2[华中科大]

具体做法：

①先利用可导性和周期性，写出an和bn，利用T=2k

②再利用f(x)=f(x+b),做一下换元，令x=t+b，

得到an和bn，此时变量为t，再利用三角函数性质，和周期性f(t+b)=f(t),得到两条an和bn的齐次线性方程组

③利用系数行列式大于0，说明线性无关，即系数为0，得到an=bn=0（n=1,2,...），因此只有a0/2这个常数

注：求这个系数行列式的过程因为k∈Z+，b是正无理数，所以这个系数行列式必不可能为0.