关于群论中对应定理“一一对应（双射）”部分的理解及其证明的说明

2023-02-01 03:41 作者:9册楼阁 0人读过 | 我要投稿

这不过是一次无谓的纸上雕花罢了。

读者需要能理解群论对应定理（参见：定理）中所有概念的含义，最好在之前有接触过范畴论（了解范畴论中基本的几个概念和思想）。

还是先简单解释说明一下这里要谈论的对应定理吧。在群论中，对应定理（Correspondence Theorem），有时也会被称为格定理（Lattice Theorem）,或者第四同构定理（the Fourth isomorphism Theorem）,当然也可能会被叫作第三同构定理（the Third isomorphism Theorem）——毕竟关于群论里面同构定理的数量和编号本身也不是完全统一的。甚至，就对应定理本身而言，目前网上能找到的表述形式其实并不能说是完全统一的，有的甚至附带了四五个命题。但所有的表述都包含有一个基础的命题，那就是一个群包含相同正规子群的子群，和其对应商群的子群，能够一一对应，或者说形成一个双射。可以看到，这样纯用自然语言描述还是挺绕的，这里不妨先给出一个正式的定义，以便于后续的讨论。

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可以看到，这样的表述，并没有比纯用自然语言表述好到哪里去。而这种“模糊”，导致产生了一些在理解定理上可能存在的隐患，进而导致了对定理的证明存在一些理解偏差。

那我们先来讲清楚这个“模糊”的地方在哪里。

一个是在定理表述中。这个定理在阐述时，只涉及了“群”这一个层面的代数结构。但群与子群的关系，以及商群的定义本身，都蕴含了群中“元素”这一层面。而最关键的是这里：“群G的每一个包含N的子群H，都能与商群G/H的每一个子群形成一一对应”。这句话其实说的是，将群G所有包含N的子群H形成了一个“集合”，同时将商群所有子群又形成一个“集合”，那么定理的结论是两个“集合”形成了一个“一一对应”，或者说，“双射”。也就是说，这个定理其实涉及了三个层面的代数结构：元素——群——“集合”。当然，也有用集族表述的教材（如Rotman的Advanced Modern Algebra），但这种“结构”在多数表述中都没有明确体现出来。这其中最主要的原因就是“性价比”太低，吃力不讨好。“集合”的正规表述，难免会涉及到朴素集合论的一些基础问题，但因此而使用公理化集合论或范畴论的语言，也未免太费周折，对定理其他部分的理解也没有帮助，甚至，引入过多术语还可能不利于对定理的理解。而对定理内容本身的理解不清，必然会对定理后续证明的理解产生影响。

一个是在定理证明时。关于这个定理的证明，我首先必须要说两句，那是真的稀缺。我找过几个比较有名的教材，要么证明过程过于简略（如Paolo Aluffi的Algebra:Chapter 0），要么直接把证明作为练习留给读者（如Dummit和Foote的Abstract Algebra），当然也有较为详细地证明了的（如Rotman的Advanced Modern Algebra），但也有的干脆连这个定理都没写进正文的（如Lang的Algebra以及Artin的Algebra）。毕竟，这也不能说是什么非常重要的定理，而且它本身也有更一般、更加高观点的形式，在群论上的这个形式的证明，自然是点到为止就好。但即使在比较详细的证明中（如Rotman的Advanced Modern Algebra），还是存在一个关键的问题，就是商群G/ H的子群，与子群H的商群之间的关系。就结果而言，这两个自然是等价的，也就是说，它们各自形成的“集合”存在“一一对应”或者“双射”。但这个是有待证明的，不能直接混为一谈。而这种“模糊”，也是读者在该定理诸多证明中，可能主要存在的一个理解偏差，因为多数证明都是着重考虑子群和商群子群的一一对应。这个地方如果产生误解，不仅可能会对定理的证明理解产生偏差，甚至可能会造成对定理内容本身的理解偏差。

一个是在定理意义上。这个定理本身存在一条“暗线”。之前如果接触过这个定理，一定知道这个定理的主要用途。这里我们证明的，是上述两个“集合”的“一一对应”，但从某种角度来看，这可以说是无关紧要的，因为我们真正想要得到的，更多的是商群子群本身的代数性质，最好有确切的形式（就结果而言，即子群H的商群）。而这些内容其实与定理的结果没有直接关系。因此，定理的表述内容是一条“明线”，但我们对定理用途的实际需求是一条“暗线”，而这两条线也是证明过程必须都顾及到的。只是很多的证明过程，主要对其中一条内容多有侧重，因此读者在理解证明过程时，对另一条线的内容，可能会有所疏忽，或者，也可能读完证明后一头雾水，没感觉到究竟有什么意义。

下面简单说明一下对定理证明的一些情况。这里论述证明时，以proofwiki上的证明为基础，在这个基础上进行修改调整。这里不会给出完整证明过程（完整过程参见链接），但会在行文的整个过程中，给出证明的整体思路和值得注意的细节。不给出完整证明过程主要是考虑篇幅问题，且证明不是这里的重点，重点是理解定理及证明的思路。这里之所以选择proofwiki的证明，主要是因为以下几个原因：一所有读者都可以通过链接直接阅读；二是没有太多对前设命题的引用（如“参见命题5.10(III)”这种），阅读证明的过程相对比较通顺，这点不同于教材证明，当然对有群论基础的读者来说可能稍显冗长；三是这个证明是诸多证明中，就我个人理解而言，阐述思路最明晰的一个，且对于上述那几点“模糊”的地方也涉及不多，需要改动的程度也不大，便于后续论述。

完整证明链接（proofwiki）如下：

https://proofwiki.org/wiki/Correspondence\_Theorem\_(Group\_Theory)

在正式开始论述证明思路之前，先用下面这张图，作为上述内容的一个阶段性总结。

上图出现的“对象（Object）”用来指代前面提到的“集合”（但其中的群姑且仍先记为“元素”）。此外，这些对象之间的“映射”记为态射（Morphism），这些类似的对象和态射合称为“范畴”。这里将这个范畴记为“Set”。

接触过范畴论的读者一定知道，上面这段话当然是用范畴论的语言叙述的。但对于没接触过范畴论的读者来说，这些只是某种概念的替换，也相对更容易接受，因此这里不对上述涉及的“新概念”进行严格的阐述。如果之前未接触过范畴论的读者追求更严谨的表述，欢迎自行参阅范畴论的相关材料。

下面正式开始阐述证明思路。

将对应定理用上述的术语翻译一下的话，就是对象 $%5Coverline%7BH%7D$ 与 $%5Coverline%7BgN%7D$ 之前存在同构（Isomorphism）。这个同构是范畴Set态射层面的同构，而不是群同构。因此，一定要注意区分这个范畴Set中的同构，与这两个对象中对应元素之间可能存在的群同构。这是读者在阅读这个定理的其他证明时很容易出现的问题。此外，这也意味着，群论中的种种关于同构的性质或判定的命题，都不能直接应用于这个证明。因此，要完成这个证明，只有根据态射同构的定义，在这两个对象之间构造两个态射α 、β ，并证明这两个态射互为对方的逆（未接触过范畴论的读者，可以简单类比函数与反函数的关系）。以上也就是这里证明这个定理的基本思路。在构造 $%5Calpha%3A%20%5Coverline%7BH%7D%5Crightarrow%20%5Coverline%7BgN%7D$ 时，有一个很便捷而自然的方式，那就是借助 $%5Coverline%7BH%2FN%7D$ ——即群G所有子群H在N上的商群H/N组成的对象——作为中介，构造两个中间的态射，进而构造出所需的复合态射\alpha 。而在构造 $%5Cbeta%3A%20%5Coverline%7BgN%7D%5Crightarrow%20%5Coverline%7BH%7D$ 时，因为 $%5Coverline%7BgN%7D$ 本身知之甚少，因此只能在“群G/N子群”这一性质的基础上构造一个态射，再证明在 $%5Coverline%7BgN%7D$ 中，任一子群关于这个态射的像（Image）都是群G的一个子群，即态射的目标（Target，未接触过范畴论的同学可理解为值域）为对象 $%5Coverline%7BH%7D$ 。以上就是这里的证明在构造这两个函数上的基本思路。