3、线性扩张状态观测器的基本原理及其参数

        在前面两篇博文中，我们分别从频域和时域两个角度介绍了常规扰动观测器的基本原理以及设计方法。在本文中我们将介绍另一种时域下的扰动观测器设计——扩张状态观测器（Extended State Observer, ESO）。ESO最初是由韩京清教授在其提出的自抗扰控制技术中提及。

        相比于龙伯格观测器需要被观测模型为线性系统，ESO跳出了其限制，可以对非线性系统进行状态重构和估计。ESO的设计只需要系统的输入和输出以及系统的相对阶次（即系统输入到输出之间的最少的积分器实现）。然而ESO的缺点是对原系统的状态进行跟踪时需要将原系统进行坐标变换转换成积分串联型才能进行观测。

        ESO最初被提出时虽然效果不错，但是存在两个不利的因素，其中一个是观测增益采用非线性函数，其参数整定比较困难，另外一个是无法从理论上保证其收敛。针对第一个问题，高志强教授将ESO简化为线性扩张状态观测器（Linear Extended State Observer, LESO），并提出了带宽法进行参数整定。针对第二个问题，郭宝珠和赵志良教授在其文章《A Novel Extended State Observer for Output Tracking of MIMO Systems With Mismatched Uncertainty》中对ESO的收敛性和稳定性问题进行证明。本文从实用的角度出发，主要对高志强教授提出的LESO的基本原理和参数设计进行介绍。

        首先，我们考虑单输入单输出的n阶非线性系统，它的数学描述如下：

                       

式中，d(t)表示外部扰动，u(t)表示控制输入，y(t)表示控制输出，b表示系统参数,f(...)表示集中扰动。

        假设系统的状态可以表示为，则上述系统可以表示为

                                        
        在ESO的设计中，我们引入了一个扩张的状态，它的表达式如下

                                    

         则系统的状态方程可以描述为

                                       

         则LESO的设计如下

                                       

式中，表示的是状态的估计值，而表示的是观测增益。

        则观测误差可以表示为

                                       

式中，表示的是系统各个状态的估计值。当是有界时，则上述误差方程能够保证稳定。通过上式，我们可以得到ESO的控制框图如下所示。

        为了验证上述理论以及介绍带宽法的参数整定方法，我们以一个例子进行说明

                                                          

其中，，而d在时间大于6秒时等于3。则上式写成矩阵的形式是

                                                           

其中，

              

        通过扩展状态的引入，原系统由原来的二阶系统变成三阶系统，则扩张状态观测器的设计可以表示为

                                                             

其中，观测矩阵，则误差矩阵关系可以表示为

                                                                

其中，

                                                

        则其特征多项式可以设计为

                                       

        这样设计可以保证特征根全为负且只有一个调节参数，当系统的扰动比较小时可以取得大一些，则观测增益的表达式可以计算为

                                            

        在本仿真中，我们取，仿真结果如下图所示

        从上述仿真结果可以发现，LESO能够很快的跟踪状态，且误差很小。