复数形式的新定义运算

       我们在小学学了非负数的新定义运算，再到初中学了实数的运算，现在到了高中也知道四则运算可以推广到复数。那么复数是否也可以进行新定义运算吗？

        我们先来回顾一下新定义运算的有关概念、复数形式的四则运算的公式：

         什么是新定义运算：简单地可以理解为用"△、⊿、!、♢"等符号代替四则运算符号，对一些式子进行不同要求的运算。新定义运算的特点：新定义运算不仅可以进行数的运算，还可以解方程。新定义运算的注意事项：在运算时遇到括号要先去括号，所以“!"的新定义运算符号不同于其他的新定义运算符号：它可能要求阶乘，其他的都不可能有这类定义。于是新定义运算不能按四则运算那样，有些地方可以多对或多组数同时合并一起运算。

       复数形式的四则运算的公式：同理于实数的四则运算思想。设z1,z2是任意的两个复数，z1＝a+bi，z2＝c+di。那么有复数的加减法公式：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。复数乘法公式：（a+bi）（c+di）=（ac-bd）（bc+ad）i，其中i=-1完全平方公式（a±b）²也可以和实数的完全平方公式类比。复数除法公式：（a+bi）/（c+di）=[（a+bi）（c-di）]/[（c+di）（c-di）]=[（ac+bd）+（bc-ad）i]/（c²+b²）=[（ac+bd）/（c²+d²）]i。

         结合这两方面，就可以进行复数形式的新定义运算。

        例1：现新定义运算1!1=a+bi+c+di，求（4！4）+（6！6）。

         解题思路：我们发现，！的两边都是相同的数，这个数是多少，实部、虚部单位就均是多少，于是（4！4）+（6！6）的运算过程如下：

          解：（4!4）+（6！6）=（4a+4bi+4c+4di）+（6a+6bi+6c+6di）=4a+4bi+4c+4di+6a+6bi+6c+6di=（4a+6a）+（4bi+6bi）+（4c+6c）+（4di+6di）=10a+10bi+10c+10di=10a+10c（10b+10d）i。

       例2：现新定义运算2⊿3=5a+6bi-7c+8di，解方程：2X-6⊿7=X+10⊿11。

        解题思路：我们发现，⊿左边的数比⊿右边的数小1，算式中a的单位是原式等号左边两个数的和，bi，c，di的实部或虚部单位每往后递增的绝对值是1，中间的数递增1，其余的都是-1。于是解方程2X-6⊿7=X+10⊿11的步骤如下：

         解：2X-6⊿7=X+10⊿11整理得X=10⊿11+6⊿7，代入已知条件得X=（21a+22bi-23c+24di）+（13a+14bi-15c+16di），去括号得X=21a+22bi-23c+24di+13a+14bi-15c+16di，化简得X=34a-38c+（36bi+30di），提公因数得X=34a-38c+（36b+30d）i。

           例3：现新定义运算A△B=3a+6bi，-（A△B） =2c+di，计算5{A△B[-（A△B）]}。

         解题思路：我们发现第一个算式中，△左边的字母要求等号右边将大写替换成小写，其中实部单位为3，虚部单位为6。第二个算式中如果从整体上来看，是第一个算式的相反数。假设去掉负号，△左边的字母要求等号右边将A替换成c，△右边的字母要求将B替换成d，其中实部单位为2，虚部单位为1。5{A△B[-（A△B)]}表示5倍的{A△B[-（A△B)]}，于是5{A△B[-（A△B）]}的运算过程如下：

         解：5{A△B[-（A△B）]} =5×{（3a+6i）[-（2c-di）]}=5×{[（-6-6）+（-12-3）]i}=5×（-27i）=135i。

         例4：现新定义运算1⊕1=3a+9bi，2⊕2=6c+36di，计算（3⊕3）/（4⊕4）。

        解题思路：我们发现每个算式中⊕两边的数都相等，等号右边的实部单位是它的3倍，它的平方等于虚部单位，根据这样的规律进行推理，于是.（3⊕3）/（4⊕4）的运算过程如下：

        （3⊕3）/（4⊕4）=（9a+81bi）/（16c+256di）=[（9a+81bi）（16c-256di）]/[（16c+256di）（16c-256di）]=[（144-20736）+（1296-2304]/（256²+65536²）=[-20592+（-1208）]/（65536+4294967296）=-（21800/429502）i=-（10900/21475191）i