熵的定义-数学描述

本文试图在宇宙构造假设-空间基本量子构想下，给出熵的定义和数学描述，并进一步解释为什么熵增是一个封闭系统的自发过程。

文中对熵的定义 可以用数学解析式的形式1 量化描述混乱度 2 演绎熵增的过程 3 解释封闭系统的熵存在极大值，即热寂性 4 演绎熵增的自发性 5 量化有序度和无序度，并解释有序度与熵之间的关系。

 

一 基本概念

熵的一种定义

空间基本量子构想下的熵的定义

对热寂说的另一个角度的解读

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声明：本文受到了香农（C.E.Shannon）的信息熵定义的启发。

阅读本文，需要先阅读本人之前的文章：时间的定义

https://www.bilibili.com/read/cv23642662

基本定义：我认为一个时刻的熵取决于这个时刻的下一个时刻可能对应的变换的数量的多少。设宇宙的空间基本量子数是N，每个空间基本量子的最大可能能量激发态的数量是M，宇宙总共最大可能生成的变换就是M的N次幂。这个M的N次幂对应的就是宇宙能够对应的最大熵。

封闭系统的热寂性：19世纪物理大师开尔文和克劳修斯的热寂说是基于对熵增律和能量守恒律的认同上，热寂是否成立的最大争议在于宇宙是否是封闭的系统，一旦认同宇宙是封闭的系统，热寂说就不会有太大争议了。

在空间基本量子作为宇宙基本组成的构想下，从宇宙基本组成单元数量有限，单个单元可激发的态有限-其宇宙可生成变换的数量有限-时间有限的推导/将时间映射到宇宙变换对应的熵上，这三阶推导导出了时间有限的结论与热寂说得到的是相类似的结论。热寂从封闭系统的热力学能量分布平衡的角度， 空间基本量子构想对时间的推导基于有限元生成有限变换的角度，都论证了一旦承认这个宇宙是有限系统，就可推导出时间有限的结论。

熵增过程的演绎：宇宙时间演化的过程就是熵增的过程，熵增的过程就是能量传导，热传导的过程。 上面提到宇宙最大可能生成的变换数量是M的N次幂，但这是最大的数量。在宇宙时间演化的过程是能量集中分布到能量分散分布的过程，从可能生成变换的数量理解这个过程就是，但能量集中时，能量没有传导到的宇宙中大部分的空间基本量子可能生成的能量态没有M个，能量传导到某一片区域，这个区域的空间基本量子的可能激发的能量态的数量才会增加，M只是取值范围的最大值。 宇宙演化的过程-熵增的过程-能量分布范围扩大的过程-就是不同区域空间基本量子的能量激发态的范围变得更大的过程-下一时刻可能生成的变换更多的过程。

M的N次幂是最大值，但当宇宙演化初期，大部分的空间基本量子的可能的能量激发态都没有M个，所以能生成的宇宙变换数远小于M的N次幂，当能量传导-能量分布范围越来越广，越来越多的空间基本量子的能量激发态数量的取值范围变大，相应时刻的下一时刻宇宙可能生成的变换就越来越多，对应的熵值就越来越大。

某个时刻熵的定义就是下一个时刻可能的变换数的数量。

某一时刻的熵值的数学描述=这个时刻在下一时刻可能生成的变换的数量

熵的定义解析

这里mi指的是第i个空间基本量子在下一个时刻可能的最多能量激发态的数量，其实际取值范围区间比1到M窄，但随着宇宙时间的演化，能量分布越来越广，越来越多的空间基本量子的能量激发态的可能变化范围变大，从而可能生成的变换的数量变多，对应的熵越来越大，而在这个过程宇宙的总能量是守恒的。

基本组成单元的总数不变，单个单元可能出现的激发态的数量增加，生成的变换增加对应熵的增加，用来表示混乱度或能量分布均匀度是容易理解的。

另外要补充说明的是，一个时刻的下一个时刻可能的变换不仅受能量守恒的约束，也受相邻变换的约束，相邻变换的约束的意思是任何一个空间基本量子的能量态变化只能是其相邻的空间基本量子的作用带来，不存在超距作用。比如一个空间基本量子相邻有F个其他空间基本量子，这个时刻这个空间基本量子和相邻F个空间基本量子的能量态所携带能量的和是E0，那个下一个时刻，中间这个空间基本量子的能量态所携带的能量不可能超过E0。

能量分布越均匀，越广泛，大部分空间基本量子被激活的激发态的活动范围就越广，可能生成的宇宙变换就越多，熵就越大。

只要一个系统的基本组成的总数有限，每个基本组成上的激发态的数量有限，那么这个系统能够生成的变换也就有限，这个系统的熵就有最大值，也就是热寂说所讲的情形。

局部封闭系统的熵增过程与以上宇宙熵增过程类似，就不重复了。

用某个时刻的下一个时刻的可能变换数（可以是整个宇宙的变换也可以是某个能量意义上的封闭系统，哪怕不是严格封闭的系统，也可以用此办法来给出这个系统熵变化的近似值）来定义熵。

二 这一篇主要讲熵的解析式是如何表示能量守恒且熵增的过程的，从数学上表示为什么能量分布越均匀，熵就越大。从而进一步解释为什么熵增是是一个封闭系统的自发过程。

为什么系统在下一个时刻的可能变换数来定义这个时刻的熵与传统意义上说的系统能量分布混乱程度和均匀程度是一致的呢？ 即这个系统的熵取决于a这个系统每一个基本组成单元的能量态变化范围中的可能能量态数量，b这个系统基本组成单元的个数（即上一篇中提到的那个公式）。

熵的解析式

当一个系统中的越来越多的基本组成单元的能量态范围扩大了/可能能量态数量增加了，等价于能量分布更均匀了。可能生成的变换越来越多跟系统越来越混乱也是等价的。所以一个系统中的越来越多的基本组成单元的能量态范围扩大了/可能能量态数量增加了，而封闭系统的基本组成单元的数量不变，这就等价于可能生成的变换增加，等价于这个系统的熵就增加了，这就是熵增过程的描述。

我觉得上面这个式子比传统的热力熵和信息熵的定义式更简单清晰。

从低熵到高熵状态最显著的变化是越来越多的系统组成单元的能量态范围被激发扩大了，这就等价于整个系统在下个时刻可能生成的变换数增加。所以用整个系统下个时刻可能生成的变换数来定义熵，是表示了熵初始定义中混乱度的内涵。

不管是传统热力学还是信息熵，在能量守恒下的熵增的本质在于能量分布在更多的基本组成单元上，上面的熵增解析式从数学上的表示是符合传统熵增过程的。

在做以下讨论之前，做一个说明，即能量是标量，而能量态被定义为矢量，能量态的变换范围包含方向的变换范围。利用动量守恒和角动量守恒的约束来分析能量方向变换的可能范围。

试想一个简单的情形，假设一个封闭系统有三个两两相邻的基本组成单元，低熵状态下，某个时刻T其中两个a和b的能量态没被激发，这两个能量态可能变换的范围就是1（速度大小1，方向1个），对应被固定在一个能量态上，第三个基本组成单元c处于高能量激发态，其能量态可能变化范围是 1（速度大小10，方向1个），为了简化分析，设a,b,c的质量大小相等=m，a,b的方向与c的方向垂直，a和b的方向夹角180度，这样这个系统的总动量在c的方向上，大小可由c的速度计算出，且这里不考虑自旋和角动量的情况。这个时刻的上一个时刻T-1的熵是1×1×1=1个，系统的总能量=51m，系统的总动量沿着c的初始速度方向，大小为10m,假设下一个时刻T+1发生了能量传导，a,b,c三者在T+1时刻的能量和保持在51m，三者的总动量保持在10m方向在c的初始速度方向。注意能量和动量的单位不同，51m和10m只是能量和动量的量，而不包括单位。如果这51m的总能量按一定比例分配在a,b,c三者上，且这三者的合成动量也保持在大小10m方向在c的初始速度方向，当能量大小分布确定时，a,b,c三者存在若干种方向组合使动量守恒，这三者各自的速度大小及方向组合可能性就是能量态的可能变化的数量，从而当越来越多的基本组成单元的能量激发态的可能取值范围变大时，可能生成的变换数就越多，由此定义的熵就越大。

2023年6月8日的补充：上面这个简化的例子其实并不适用于空间基本量子的情形，因为空间基本量子的基态形态是无质量的，质量只是能量态之一。具体导入动量守恒和角动量守恒的时候，运用动量守恒和角动量守恒方程的时候，实际是将动量和角动量中的质量组成换算成通用的能量单位，从而可以导入无质量的基本量子的动量和角动量的概念，将能量大小，自旋向和能量传导速度方向的换算组合，从而定义了能量态的方向，使能量态变化生成的排列矩阵的变换蕴含基本组成单元能量态的方向性。

由于能量是普朗克常数的倍数，能量以普朗克常数计是整数，质量可用能量换算，速度也是整数，动量的模也是整数，在这个层面上可能生成的变换数也是 能量守恒和动量守恒（角动量守恒）的不定方程组（动量和角动量守恒方程涉及到大小方向的合成）的整数解组合的个数。

这个解析式可能较为直观，但在能量守恒，角动量守恒，动量守恒几大约束下，用能量守恒和动量守恒（角动量守恒）的不定方程组的整数解组合的个数来对应可能生成的变换数从而定义熵的大小和演绎熵增的过程可能更好。

这个过程能量守恒，但是熵增了，这个能量守恒且熵增过程在数学上表示的根本就是可能生成的变换数是每个基本组成单元的态的活动范围累乘得到，所以守恒的能量分布越均匀，使越多的基本组成单元的可能能量态取值范围扩大，可能生成的变换就越多，熵就越大。

为什么熵增是自发的过程？就是因为一个封闭的系统在从有序到无序的状态的过程中，系统内越来越多的基本组成单元的能量激发态的范围变大了，从而系统在下一时刻可能生成的变换就越多，熵就越大，自发的熵增过程就是越来越多基本组成单元的活动范围被激活变大的过程。

我的表达能力可能暂时只能解释到目前这个程度，欢迎批评指正。

 

三 本部分解释为什么高度有序的结构，熵就相对无序的结构低。

任何一个空间基本量子相邻的空间基本量子数量是有限的，而空间基本量子之间要发生能量传导从而使各自的能量态发生变化的前提是至少与一个相邻的空间基本量子的能量态不同，如果一个区域越多的相邻的空间基本量子的能量态相同，这篇区域在下个时刻可能生成的变换数就会越少，熵就会越小。这里提出一个系统有序度的概念性解释：这个系统的基本组成单元层面，有多大比例相邻的基本组成单元处于相同的态。

重点是能量态传导的前提是至少与一个相邻的基本组成存在能量态的差异。

有人可能会提出疑问：某些宏观上看起来有序的结构，微观上还是存在不少无序的结构，这种情况是否也比宏观上无序的结构的熵低一些呢。我认为宏观上看上去有序的结构，哪怕微观上存在无序，也大概率比宏观上就看上去无序的结构的有序度高。怎么衡量一个区域的有序度，就是这个区域有多大比例的部分的相邻的空间基本量子处于相同的能量态，处于相同能量态的相邻空间基本量子的区域比例越大，有序度越高，下个时刻可能生成的变换就越少，熵就越低。