2023年全国乙卷理科数学解析几何大题的地阶作法与天阶解答

高考数学中的解析几何大题、导数大题往往不仅仅只有一种方法可以攻克，一般而言至少有两种作法，下面我们就来看一下2023年全国乙卷理科数学解析几何大题的两种作法。

（2023 乙卷理科）解析几何：已知曲线C的方程为，离心率为，曲线过点A。

⑴求曲线C的方程；

⑵过点的直线交曲线C于P,Q两点，直线AP，AQ与y 轴交于M，N两点，证明：线段MN的中点是定点。

解：如图所示：⑴由离心率为得：

 ①

又由曲线过A得：

②

再有 

③

联立①②③解得

,,

故曲线C的方程为

④

⑵设P的坐标为,Q的坐标为 ,M的坐标为,N的坐标为

MN的中点记为T

 对A和P应用“截距坐标公式”得：

同理可得：

从而由“中点坐标公式”得：

设过点的直线方程为

⑤

接下来的解题有以下两种选择：

方法一（地阶作法）：

联立④⑤得：

由韦达定理得：

,

于是

将两根之和和两根之积带入得：

因为为定值

所以MN的中点为定点

从而命题得证。

方法二（天阶作法）：

对④进行恒等变换：

得:

⑥

对⑤进行恒等变换得：

                                              ⑦                                            

将带入⑥中进行齐次处理得：

⑧

对⑧进行化简整理得：

⑨

对⑨进行恒等变换得：

由韦达定理得：

可知

因而MN的中点为定点

从而命题得证。

评价与思考：此题的地阶作法经典常规，计算量较大，容易出错，是为多数同学熟知的方法；而天阶作法看起来步骤较多，其实其作法巧妙灵活，出人意料，技巧性强，但是对大部分同学来说并不了解或者精通其变换处理的技巧。要想彻底掌握这两种方法，还需要多加练习，总结，斟酌与思考！