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原文出处：拓端数据部落公众号

有些问题是线性的，但有些问题是非线性的。我假设，你过去的知识是从讨论和解决线性问题开始的，这是一个自然的起点。对于非线性问题的解决，往往涉及一个初始处理步骤。这个初始步骤的目的是将问题转化为同样具有线性特征的问题。

一个教科书式的例子是逻辑回归，用于获得两类之间的最佳线性边界。在一个标准的神经网络模型中，你会发现逻辑回归（或多类输出的回归）应用于转换后的数据。前面的几层 "致力于 "将不可分割的输入空间转化为线性方法可以处理的东西，使逻辑回归能够相对容易地解决问题。

同样的道理也适用于谱聚类。与其用原始输入的数据工作，不如用一个转换后的数据工作，这将使它更容易解决，然后再链接到你的原始输入。

谱聚类是一些相当标准的聚类算法的重要变体。它是现代统计工具中的一个强大工具。谱聚类包括一个处理步骤，以帮助解决非线性问题，这样的问题可以用我们所喜欢的那些线性算法来解决。例如，流行的K-means。

内容

• 谱系聚类的动机

•  一个典型的谱聚类算法

•  编码实例

谱聚类的动机

"一张图片胜过万语千言"（Tess Flanders）。

目标是划分两个不相交的类别。我们的数据就有这种 "两个环 "的形状。你可以看到，由于数据不是线性可分离的，K-means解决方案没有太大意义。我们需要考虑到数据中特别的非线性结构。 做到这一点的方法之一是使用数据的特征子空间，不是数据的实际情况，而是数据的相似性矩阵。

典型的谱聚类算法步骤

输入：n个样本点

和聚类簇的数目k；

输出：聚类簇

（1）使用下面公式计算

的相似度矩阵W；

                                 

W为

组成的相似度矩阵。 

（2）使用下面公式计算度矩阵D；

 

  ，即相似度矩阵W的每一行元素之和 

D为

组成的

对角矩阵。

（3）计算拉普拉斯矩阵

；

（4）计算L的特征值，将特征值从小到大排序，取前k个特征值，并计算前k个特征值的特征向量

；

（5）将上面的k个列向量组成矩阵

，

；

（6）令

是的第

行的向量，其中

；

（7）使用k-means算法将新样本点

聚类成簇

；

（8）输出簇

，其中，

.

上面就是未标准化的谱聚类算法的描述。也就是先根据样本点计算相似度矩阵，然后计算度矩阵和拉普拉斯矩阵，接着计算拉普拉斯矩阵前k个特征值对应的特征向量，最后将这k个特征值对应的特征向量组成

的矩阵U，U的每一行成为一个新生成的样本点，对这些新生成的样本点进行k-means聚类，聚成k类，最后输出聚类的结果。这就是谱聚类算法的基本思想。相比较PCA降维中取前k大的特征值对应的特征向量，这里取得是前k小的特征值对应的特征向量。但是上述的谱聚类算法并不是最优的，接下来我们一步一步的分解上面的步骤，总结一下在此基础上进行优化的谱聚类的版本。

编码示例

环数据在代码中是对象dat。下面的几行只是简单地生成K-means解决方案，并将其绘制出来。

plot(dat, col= kmeans0cluster)

  

现在是谱聚类解决方案。

1. # 计算距离矩阵

2. dist(dat, method = "euclidean", diag= T, upper = T)  

3. sig=1 # 超参数

4. #  一个点与自身的距离为零

5. diag(tmpa) <- 0 #设置对角线为零

6. # 计算程度矩阵

7. # 因为D是一个对角线矩阵，所以下面一行就可以了:

8. diag(D) <- diag(D)^(-0.5)

9. # 现在是拉普拉斯的问题:

10. # 特征分解

11. eig_L <- eigen(L, symmetric= T)

12. K <- 4 # 让我们使用前4个向量

13. # 它是相当稳健的--例如5或6的结果不会改变

14. x <- eig_L$vectors[,1:K]

15. # 现在进行归一化处理:

16. sqrt( apply(x^2, 1, sum) ) #  临时分母

17. # 临时分母2：转换为一个矩阵

18. # 创建Y矩阵

19. # 在y上应用聚类

20. # 可视化:

21. plot(dat, col= spect0$cluster)

* 在我们的例子中，

的条目不仅是0和1（连接或不连接），而且是量化相似性的数字。

参考资料

Ng, Andrew Y., Michael I. Jordan, and Yair Weiss. “On spectral clustering: Analysis and an algorithm.” Advances in neural information processing systems. 2002.

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