恶补基本功-本科代数-第一章，1-2节

2021-07-09 23:03 作者:子烨紫冶籽 0人读过 | 我要投稿

书是2005年的Undergraduate Algebra 3rd Edition，作者是Serge Lang，Springer出版社

首先要把集给搞清楚：

一个物件(Objects)的集合，就叫集(Sets)，集的成员叫元素(Element)

打个比方，我们如果说Z是整数的集合，也就是 $Z%3D%5C%7B0%2C%20%5Cpm%201%2C%20%5Cpm2%2C%5Cpm3%2C...%5C%7D$ ，我们可以说整数x是Z的元素，也可以说 $x%5Cin%20Z$

假设有两个集，S和S'，而S'的每一个元素都是S的元素，那么我们可以说S'是S的一个子集(Subset)，打个比方，S是所有整数，S'是所有正/负整数，我们可以说S'是S的正子集(proper subset)，但不能简单地说S'=S，也就是 $S'%5Csubset%20S$

然后，我们有两个集， $S_%7B1%7D$ 和 $S_%7B2%7D$ ，这两者的交集(intersection)就是 $S_%7B1%7D%5Ccap%20S_%7B2%7D$ ，两者都有的，就是其子集。打个比方：

$S_%7B1%7D%3D%5C%7B1%2C%202%2C%203%2C%204%2C...%2C%20%5Cinfty%20%5C%7D%5C%5CS_%7B2%7D%20%3D%20%5C%7B-%5Cinfty%2C%20...%2C-1%2C0%2C1%5C%7D%5C%5CS_%7B1%7D%5Ccap%20S_%7B2%7D%3D%5C%7B1%5C%7D$

最后， $S_%7B1%7D$ 和 $S_%7B2%7D$ 的并集就是 $S_%7B1%7D%5Ccup%20S_%7B2%7D$ ，只要在其中一个集存在的，就能算其子集。以上面那个例子的话， $S_%7B1%7D%5Ccup%20S_%7B2%7D%3D%5C%7B-%5Cinfty%2C..%2C-1%2C0%2C1%2C...%2C%2B%5Cinfty%5C%7D$

然后，如果一个集里面，一个元素都没有，那就是空集。打个比方，如果A集是所有大于0的奇数，B集是所有大于0的偶数，那么A和B的交集就是一个空集。

还有个 $A%5Ctimes%20B%3D%5C%7B(a_%7B1%7D%2Cb_%7B1%7D)%2C(a_%7B2%7D%2C%20b_%7B1%7D)%2C...%2C(a_%7B2%7D%2Cb_%7B2%7D)%2C(a_%7B2%7D%2Cb_%7B2%7D)%2C...%2C(a_%7Bn%7D%2Cb_%7Bm%7D)%5C%7D%20%2C%5C%5C%5C%23A%3Dn%20%2C%20%5C%23B%3Dm$

这个＃的意思是，集的元素数量，打个比方，S={1,2,3}，那么#S=3。

接着是基本性质引申出的well-ordering axiom（所谓的良序定理）。

所有非空的，大于等于零的整数集，都有至少一个元素(Every non-empty set of integers >= 0 has a least element)，也就是说，如果S是一个非空的，大于等于零的整数集，那么作为S的元素n，在S里面会有一个大于等于n的元素。

根据以上的定理，我们再进行第一步推导，对于每个大于1的n，我们断言为A(n)，由此延申出两个性质：

A(1)成立
每一个大于等于1的n，如果A(n)为实，那么A(n+1)也成立。

所以，每一个大于等于1的n，A(n)的断言为实。

这个推导的论证：

我们假设S是正整数的集，并假设里面有个n使得A(n)不成立，我们需要证明S是空集。

根据良序定理，一定存在一个最小的元素 $n_%7B0%7D$ ，我们已经假设 $n_%7B0%7D%5Cneq1$ ，所以 $n_%7B0%7D%5Cgt1$ ，既然 $n_%7B0%7D$ 是最小的元素，也就是说 $n_%7B0%7D-1$ 不存在于S里。这样的话 $A(n_%7B0%7D-1)$ 成立。结合上面第二个特征， $A(n_%7B0%7D)$ 也成立，因为

$n_%7B0%7D%3D(n_%7B0%7D-1)%2B1$

这样就矛盾了，所以反过来证明了第一步推导。

另外一个例子：我们想证明，当n大于等于1的时候，

$A(n)%3A1%2B2%2B...%2Bn%3D%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%7D%7B2%7D$

n等于1的时候，A必定成立，假设我们的等式在n大于1的时候成立，这样的话：

$1%2B...%2Bn%2B(n%2B1)%3D%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%7D%7B2%7D%2B(n%2B1)%5C%5C%3D%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%2B2(n%2B1)%7D%7B2%7D%5C%5C%3D%5Cfrac%7Bn%5E%7B2%7D%2Bn%2B2n%2B2%7D%7B2%7D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B(n%2B1)(n%2B2)%7D%7B2%7D$

也就是说，我们证明了A，也证明了A(n+1)，所以我们可以总结，当n为大于等于1的整数时，A(n)成立。

接着就是第二次推导。假设每一个大于等于0的整数为n，我们因此推断为A(n)，这样我们可以证实这两个特性：

A(0)成立
所以大于0的整数n，如果每一个大于等于0，但小于n的整数k，那么当每一个A(k)成立后，A(n)也成立。

论证方法：让S是一组整数，0和大于0的整数，并假设A不成立。S不是空集，让 $n_%7B0%7D$ 是S中最小的，根据（1）的假设，既然 $n_%7B0%7D$ 必须最小并使A不成立，所以 $n_%7B0%7D%5Cneq0$ （因为要满足 $0%5Cleq%20k%20%5Clt%20n_%7B0%7D$ ）。这样的话根据（2）的假设，就会产生矛盾。既然A不成立衍生出矛盾，那么A成立。

具体例子：以欧几里得算法(Euclidean algorithm)

理论：让m,n是整数，m大于0，这样就会存在整数q和r，而 $0%5Cleq%20r%5Clt%20m$ ，使得

$n%3Dqm%2Br$

论证：

根据理论，任意的q将使得 $qm%5Cleq%20n$ ，重新排序的话，其最大的元素q将满足

$qm%5Cleq%20n%5Clt%20(q%2B1)m%3Dqm%2Bm$

（左边那个是当r为0，右边那个是r为m，因为r小于m，所以n会在这两种可能性之间。）

也就是说

$0%5Cleq%20n-qm%20%5Clt%20m$

让 $r%3Dn-qm$ ，所以 $0%5Cleq%20r%5Clt%20m$ ，这就证明q和r存在。

第二不要论证其唯一性，假设：

$n%3Dq_%7B1%7Dm%2Br_%7B1%7D%2C%200%5Cleq%20r_%7B1%7D%5Clt%20m%5C%5C%20n%3Dq_%7B2%7Dm%2Br_%7B2%7D%2C%200%5Cleq%20r_%7B2%7D%5Clt%20m$

但是 $r_%7B1%7D$ 和 $r_%7B2%7D$ 不等，让 $r_%7B1%7D%20%5Clt%20r_%7B2%7D$ ，也就是说

$(q_%7B1%7D-q_%7B2%7D)m%3Dr_%7B2%7D-r_%7B1%7D$

但是， $r_%7B2%7D-r_%7B1%7D%3Cm$ ，而且 $r_%7B2%7D-r_%7B1%7D%3E0$ ，这样是不可能的，因为 $q_%7B1%7D-q_%7B2%7D$ 是整数，如果 $(q_%7B1%7D-q_%7B2%7D)m%5Cgt%200$ ，就导致 $(q_%7B1%7D-q_%7B2%7D)m%5Cgeq%20m$ ，所以当 $q_%7B1%7D%3Dq_%7B2%7D$ 时， $q_%7B1%7Dm%3Dq_%7B2%7Dm$ 。