几何没方向，快去请向量（2019课标Ⅰ，12）

2023-01-25 19:35 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2019课标Ⅰ，12）已知三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点在球 $O$ 的表面上， $PA%3DPB%3DPC$ ， $%5Cbigtriangleup%20ABC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $E$ 、 $F$ 分别是 $PA$ 、 $AB$ 的中点， $%5Cangle%20CEF%3D90%5E%5Ccirc%20$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A. $8%5Csqrt%7B6%7D%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D$

B. $4%5Csqrt%7B6%7D%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D$

C. $2%5Csqrt%7B6%7D%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D$

D. $%5Csqrt%7B6%7D%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D$

解：

设 $%5Cleft%5C%7B%20%5Coverrightarrow%7BPA%7D%2C%5Coverrightarrow%7BPB%7D%2C%5Coverrightarrow%7BPC%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ 为空间中所有向量的一组基底，其中

$%5Cleft%7C%20%5Coverrightarrow%7BPA%7D%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20%5Coverrightarrow%7BPB%7D%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20%5Coverrightarrow%7BPC%7D%20%5Cright%7C%3Dn$ ，

$%5Cleft%3C%20%5Coverrightarrow%7BPA%7D%2C%5Coverrightarrow%7BPB%7D%20%5Cright%3E%20%3D%5Cleft%3C%20%5Coverrightarrow%7BPB%7D%2C%5Coverrightarrow%7BPC%7D%20%5Cright%3E%20%3D%5Cleft%3C%20%5Coverrightarrow%7BPC%7D%2C%5Coverrightarrow%7BPA%7D%20%5Cright%3E%20%3D%5Ctheta%20$

则 $%5Coverrightarrow%7BCE%7D%3D%5Coverrightarrow%7BPE%7D-%5Coverrightarrow%7BPC%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Coverrightarrow%7BPA%7D-%5Coverrightarrow%7BPC%7D$

$%5Coverrightarrow%7BEF%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Coverrightarrow%7BPB%7D$ ，则

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Coverrightarrow%7BCE%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BEF%7D%26%3D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Coverrightarrow%7BPA%7D-%5Coverrightarrow%7BPC%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Coverrightarrow%7BPB%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Coverrightarrow%7BPA%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPB%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Coverrightarrow%7BPB%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPC%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cleft%7C%20%5Coverrightarrow%7BPA%7D%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20%5Coverrightarrow%7BPB%7D%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20%5Coverrightarrow%7BPB%7D%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20%5Coverrightarrow%7BPC%7D%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dn%5Ccdot%20n%5Ccdot%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dn%5Ccdot%20n%5Ccdot%20%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%0A%09%26%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dn%5E2%5Ccos%20%5Ctheta%20%3D0%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以 $%5Ccos%20%5Ctheta%20%3D0$ ，

所以 $%5Ctheta%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%7D$ ，

则 $%5Cleft%7C%20PA%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20PC%20%5Cright%7C%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D$

所外接球的半径

$R%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes%20%5Csqrt%7B%5Cleft(%20%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%7D%7B2%7D%7D$

所以外接球的体积

$V_%7B%5Ctext%7B%E7%90%83%7D%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%5Ctimes%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E3%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csqrt%7B6%7D%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D$ ，选D.

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