目的是用一个能手操的随机模型（大概算是个改版new Keynesian）来解释扩张性货币政策的影响，特别是对于金融市场的影响（这点见得比较少）。模型还是competitive equilibrium（传统的什么什么曲线这种老古董就别整了，CE比较偏向于复杂系统视角下公理化的建模methodology，逻辑上靠谱得多，数学物理背景出身的人看着也舒服得多），在里面加入两个关键要素：cash-in-advance constraint（用于引入liquidity friction，从而赋予货币价值）以及segmented market（仅有部分消费者能够接触金融市场，这部分人在扩张性货币政策下拥有更多liquidity，并且可以insured against risk）。本身没有什么稀奇的，只不过作为一个小练习，得出的结果和empirical的那套经典故事是吻合的。因为引入了特殊的效用形式和参数限制，不用数值模拟也有手动操作的空间，可以加深一下对建模的理解。

首先，关于扩张性货币政策的影响，empirical evidence大致上包括以下几点：

• 投资上升

• aggregate consumption上升，output上升（也就是平时所说的“刺激性”）

• non-wage income的比例上升，wage income的比例下降（所谓的redistributive effect）

• asset market中价格（如stock valuations）上升，利率、return、股权溢价下降

• VIX指数下降

• 接触金融市场部分消费者消费的波动性下降

传统的故事（aggregate demand channel）是这样的：利率下降->消费上升->aggregate demand上升->雇佣，产出上升。能解释一部分。不过传统的新凯恩斯模型对于高阶项的分析是缺失的（比如equity premia，各种variance/volatility，包括VIX，消费的涨落等等），并且有一些和empirical evidence矛盾的地方，特别是aggregate Euler equation要求expected consumption growth rate和real rate是正相关的，但这和empirical evidence不符合（称为Canzoneri critism）。我们在现在这个模型里补足一下这部分缺失，并且化解矛盾。总的来说，高阶项通过简化成analytically tractable的模型的Taylor展开来完成，而矛盾点的解决关键在于把传统的货币政策起作用的aggregate demand channel转移到redistribution channel。

下文中，我们首先给出模型中各类节点的设定，然后pin down整个模型，并进行理论分析。

Workers节点的设定

我们在模型中把测度为1的总household区分为两类，一类无法接触asset market，另一类则可以接触。为了方便起见，我们把第一类设定为labor的提供者，称之为workers，测度为；第二类设定为capital的提供者，并且持有“下层公司”（定义见下文），称之为capitalists，测度为。（这里要注意了，单节点转换到整体系统的时候要乘以一个测度）

Workers节点有1单位的时间，分配给labor（）与leisure（），面对着普通的nominal budget constraint：

以及cash-in-advance constraint：（注意，这里我们设定为交税时间早于goods market的开放，只是为了清楚起见提一句，没有实质性影响）

在全文中，我们都假定有各种类似Inada条件的正则性条件保证所有constraint均为binding，方便干活。至于具体什么正则性条件就懒得管了，总之假设统统满足就完事了。

Worker节点的最优化问题，就是在上述两个条件下最大化（该类节点无法接触bonds，不存在）：

因为我们需要研究金融市场这种随机环境，所以注意带上期望值。

让整个模型analytically tractable的关键就在于workers节点的特殊设置：我们把它们的效用函数取为以下形式：

足够小是为了尽量降低工作的disutility，把labor向上拉到1，方便后续的分析。要不然手算就寄了。

再做一个简化假设：全文中，除非特殊提到，否则设定所有lump-sum tax为0。

Bellman方程给出：

通过FOC+envelope theorem联立来提取信息，得到Euler方程：

代入具体的效用函数形式，Euler方程被大大简化为：

所以我们可以fully characterize workers' behavior：

这让我们之后的分析大大简化，要不然能算死个人。

Capitalist节点的设定

我们设定capitalist节点为：能够接触金融市场（即购买bonds），出租资本（按照neoclassical growth model的设定，同样有对应的投资与depreciation），并且享有上层公司的红利。同样，为了清晰起见，设定asset market的开放要早于goods market。最优化问题为：

subject to

在去掉税的情况下，Bellman方程为：

Euler方程给出关于bond购买的选择以及关于capital投资的方程：

虽然我们还是给capitalist设定一个特殊的效用函数形式，不过Euler方程没法像workers节点一样直接解出简单的结果了，所以姑且先把两个Euler方程搁置着。效用函数设定为：

下层公司节点的设定

我们把公司设定成一个双层的结构：上层为测度1的一群垄断性竞争的公司（用下标表示），雇佣劳动力与资本，产出不同的intermediate varieties（差异化的中间产品），拥有自主定价权，利润归于capitalists节点。下层是一个统合性质的公司，购入各种varieties，将其加工成最终的产品并出售。这个统合过程的生产函数为常替代弹性的生产函数：

我们假设生产技术有波动，导致是一个随机过程，这个随机过程设定为：

其中是刻画涨落幅度的小量，用于后续的Taylor展开。是一个i.i.d.的随机变量序列，比如标准正态，设定其期望为0，方差为1。严格来说，的支集不能是整个R，不过我们不关心它长啥样就是了，到时候按sigma展开后就是一阶矩二阶矩这些玩意儿还留着。

我们首先来看下层公司的最优化问题。

Step1.预定最终产量，如何购入intermediate varieties，使得成本最低？即：

这是个普通的static问题，求解出的结果为：

很直观，中间产品价格越高，我就少买一点，把这部分钱用于买价格更低的中间产品。

Step2.确定最优的最终产量。下层公司的净利润为

这么一看，不对劲了——没有最优产量这种说法。不过，假如净利润为正数，会有其他公司进入市场；若为负数，则这个公司也会推出市场。所以，虽然没有了产量最优化的限制条件，但我们得到了一个额外的限制条件：

所以很好，对于pin down模型并没有影响。

上层公司节点的设定

上层公司雇佣劳动力，租用资本，并且拥有定价权。其生产函数设定为constant returns to scale：

Step1.给定产出目标，如何最小化成本？

这是个普通的最优化问题，我们直接给出结果：

Step2.如何定下价格，使得净收益最高？

这也是个普通的最优化问题，我们直接给出结果：

至此，上层公司的最优化问题已经解决。

在进入下一环节之前，我们先停下来看一眼。这里的上层公司定价是统一的，并没有异质性，所以之前得到的额外限制条件其实就变成了

然后带回最优定价的结果，我们就得到这样一个工资与资本租金之间的限制关系：

这个限制关系取代了公司侧节点的最优化限制，使得整体系统依然能够pin down。所以我们可以松一口气，不用因为下层公司没有最优化产量而担心限制条件不足。

政府节点的设定

政府/央行通过公开市场操作，买回债券，以实行扩张性政策。其budget constraint为：

对于政府节点，和平常一样，我们并不做最优化，而是把税收、债券、货币发行作为exogeneously given processes。因此，模型的pinning down依然不存在问题。

Market clear

最终，我们通过market clear来把整个模型pin down。

(1)Asset market。政府供应的债券等于capitalist节点需求的债券。这里我们单纯假定政府通过公开市场操作操控了特别的过程，导致债券价格按照负指数形式的既定轨道上升：

注意这里Q是债券的价格，利率要取倒数，所以利率是在逐步下降的。这个量就决定了这个扩张性货币政策的力度，越大说明刺激得越强。

(2)Labor market。劳动力的供给（即）等于上层公司对劳动力的最优化需求（即）。把这个等式和之前工资与资本租金之间的限制关系相联立，我们就得到：

(3)Goods market。总产出=总消费+投资，即

RHS是的函数，把它和(2)中的式子联立，就可以得到这两个价格之间的一个关系。再用一次之前两个价格的限制关系，就可以完全定下这个模型的价格系统，并且进而定下具体的allocation。至此，整个模型已然完备！可以通过数值模拟来完成求解了。

(4)Money。消费者的钱总量等于政府的发行量，由此得到quantity of money equation:

这看起来倒是很传统的一个等式，估计各种宏观的教材里都玩这一套？没读过，不关心。

模型的进一步简化与完全求解

虽然前面已经加入了很多简化条件，但为了让我们手算的时候不会算晕，我们还是厚颜无耻地进一步做简化：假设资本在生产中不起作用，从而，资本的租金、投资也可以从模型中扣除。

此时，一方面，总产出是，另一方面，公司的生产纯靠劳动力，最终产出为（注意了，现在的简化条件下，总产出是一个固定值，并不会随着扩张性政策而变化）。为了简化起见，取A=1，从而我们解出了唯一一个还未定的价格系统（资本租金不存在了，债券价格依照预定轨道走）：

（工资随着生产侧的涨落而涨落）

这样就舒服了，价格系统基本完全定下来（在同一时间段内可以作为numéraire，只有比例起作用。不过不同时间段内，的比例还是需要求解的！这个我们放到后面解），剩下的就是求解具体的allocation。首先来看货币的allocation。总的货币量为：

而workers节点（自身，不带测度）的货币量依照自身的最优化结果已经知道为

那么剩下的就是capitalist节点的货币量了：

好，现在货币的allocation也完全清楚了。剩下的只有消费的allocation。

总的消费和产出一样，是。Workers节点的消费（同样是自身，不带测度）前面已经解出来了，是

其中X_t刻画价格系统的跨时段比例，也就是通胀，它是我们价格系统中当前唯一一个缺失的量。

那么剩下的部分自然就是capitalists的消费：

最后剩下的是随着时间的变化，也就是这个量，只要它解出来，价格系统的同时段内部与跨时段比例就完全清楚，而消费的allocation也完全清楚，系统就彻底解出来了！

为了求解X_t，我们回到capitalists关于bond选择的Euler方程：

代入具体的效用函数形式，得到：

有两个随机变量在这，看着烦。我们在等式两边同时取，把两个随机变量给integrate out，剩下的就是X之间的递推关系了，舒服。再对于X线性化展开，就得到了线性递推关系，可以解析求解。

具体来说，我们采用对数线性化，用小写字母的变量表示对数，如。它是一个0附近的小量，可以展开到一阶，得到一个线性递推关系：

其中的常数c定义为

根据这个递推关系往后无穷递推，得到x_t的具体表达式：

可以看出，它是一个等比数列。至此，这个随机系统已经在一阶近似下完全求解，撒花！剩下的就只是应用这个解来获取更多信息了。

扩张性货币政策的redistribution effect

得到了近似的解析解之后，最直接的一个应用就是瞧一瞧扩张性政策(Q)对于消费的影响。

对于更大的Q（即更大的扩张性刺激），我们看到x_t也更大（对于不太大的\rho来说），从而worker节点的消费量下降，capitalist节点的消费量上升，总量不变。这说明扩张性的政策导致了重分配，实际上相当于给capitalist节点注入了更多liquidity，使之需求更高；同时，直观上来说，既然注入了更多liquidity，它们也就获得了更大的insurance against the markup fluctuations，导致消费的涨落/volatility更低。下一小节来严格分析这一点。

扩张性货币政策对消费波动性的影响

我们现在想要分析扩张性货币政策对于capitalist consumption的影响。和前面一样，我们还是考虑取对数之后的形式。把capitalist consumption这个随机变量关于小量展开到一阶：

从而其方差为，它随着Q的上升而减小。所以我们之前的直觉是对的，随着扩张性政策给capitalists注入了更多流动性，他们能够更好地hedge against future risk。

扩张性货币政策对利率的影响

我们现在开始研究金融市场。关于金融市场里的定价，当然有个SDF就万事俱备了。既然现在模型已经完全求解出来了，SDF当然也是一个已知量，它在补偿价格通胀之后就是：

现在X和C都是已知量，SDF也就已知。我们可以用SDF来price各种花里胡哨的asset。先来考虑最简单的一个：在0时刻购入，t时刻回报1的risk-free asset，其价格即为。我们先把SDF本身这个随机变量对于sigma做线性展开：

取期望之后消去随机的eta项，得到价格，然后再对x_0做线性展开：

最终我们看到，对于足够小的rho，asset price都是随着x_0上升而上升的，这意味着扩张性货币政策能够提高债券的价格，或者换句话说，降低利率。

扩张性货币政策对股权溢价的影响

有了SDF之后，我们当然还可以计算equity premia，不过需要展开到更高阶。作为一个例子，我们可以计算这样一个asset的股权溢价：在t=2时刻回报non-wage income。同样通过Taylor展开，得到以下结果：

因此，在扩张性政策下，x_0上升，导致EP下降。直观上来说，利率下降，股权溢价也下降，导致人们对于risk-free和risky asset的需求都在降低，于是消费上得到提升。

扩张性货币政策对VIX指数的影响

VIX指数也是一个更高阶的量，我们将其定义为：

它是股票市场波动性的一种表征。同样通过Taylor展开来分析，最终的结论是：当参数满足以下不等式时，就能够同时保证在扩张性政策下，利率下降的同时，VIX指数也在下降：

关于labor supply的考察

在上文的模型中，基于一些特殊的设定，labor supply是一个固定值，所以没法考察扩张性政策对labor supply的影响。为了考察这一点，我们可以把workers节点的效用函数一般化：

也就是把消费这部分换成了更加一般的isoelastic utility。（通常这个的risk aversion参数是大于1的，甚至可以到达50）

在这个修改之下，workers节点的Euler方程会变成：

假如我们沿用之前的结论，即扩张性政策下workers的消费下降，那么labor supply就会上升，也就意味着employment上升，output也会上升。这和经典的story是吻合的。当然了，模型修改之后workers消费确实还是下降吗？其实可以留待以后仔细分析。毕竟虽然wage income的share下降了，但整体蛋糕变大了，workers的消费其实没法直白地看出来。

总结

从模型的建立角度来说，是一个普通的competitive equilibrium模型，或者说是DSGE模型。这种模型建立的思路/公理就是：

1. 在个体节点层面，给定价格，做最优化（注意分清楚状态变量和控制变量），通常用Bellman方程；

2. 在系统整体方面，涌现出的价格系统让整体系统临界，即通过market clear求解出价格，从而获得具体的equilibrium allocation。

这个模型略有不同的地方在于，下层公司节点并不存在节点最优化的限制，所以少了一个方程；但它又给出了价格之间的限制，补足了少掉的方程，所以最终依然是可以pin down整个模型的，即使不做简化条件下的近似分析，依然可以用数值计算来完整地模拟系统的动力学。

这个模型在施加各种简化条件后，能够在一阶近似下给出比较干净的explicit solution，作为一个代表性的特例来做分析。很显然它还缺了很多东西，比如总产出的动力学，这些都可以通过修改或者去除简化条件做到，不过会复杂得多（即使只是做线性近似）。

从经济学结论的角度，大致上就是强调了一下redistribution channel的重要性，至于算出来的各种高阶项，我不懂金融，就不瞎解读了。