【数学基础127】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
夹逼准则：若三个数列{xn}，{yn}，{zn}从某项开始成立xn<=yn<=zn，n>n0，且lim xn =lim zn=a，则lim yn=a.
两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是存在多项式u（x），v（x），使得u（x）f（x）+v（x）g（x）=1；
如果（f1（x），g（x））=1，（f2（x），g（x））=1，那么（f1（x）f2（x），g（x））=1.
已知（f（x），g（x））=1，则（f（x），f（x）+g（x））=1，（g（x），f（x）+g（x））=1.
参考资料：
《数学分析》（陈纪修 於崇华 金路）
《解析几何》（吕林根 许子道 编）
《大学教材全解 高等代数（北大第三版）》（总策划：薛金星 主编：刘建波）
数学分析——
例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 金路）》）——
按定义证明下列数列是无穷小量——
lim n/a^n，a>1；
lim n^k/a^n，a>1；
lim n^2/3^n.
证：
用牛顿二项式定理/伯努利不等式——
a>1，则令a=1+λ，则当n>3时，
a^n
=（1+λ）^n
=1+nλ+n（n-1）λ^2/2+…
>n（n-1）λ^2/2；
对任意ε>0，存在N∈N*，当n>N时，
|n/a^n|
<|n/[n（n-1）λ^2/2]|
=1/|[（n-1）λ^2/2]|
=2/[（n-1）（a-1）^2]
<ε，
取N=【2/[ε（a-1）^2]+1】即可，于是，lim n/a^n=0.
用牛顿二项式定理/伯努利不等式——
a>1，则a^（1/k）>1，由1：对任意ε>0，存在N∈N*，当n>N时，|n/[a^（1/k）]^n|<ε^（1/k）；
于是，对任意ε>0，存在N∈N*，当n>N时，|n^k/a^n|=|n/[a^（1/k）]^n|^k<ε，于是，lim n^k/a^n=0.
按照上述思路——
先证lim n/[3^（1/2）]^n=0——
3^（1/2）>1，则令3^（1/2）=1+λ，则当n>3时，
[3^（1/2）]^n
=（1+λ）^n
=1+nλ+n（n-1）λ^2/2+…
>n（n-1）λ^2/2；
对任意ε>0，存在N∈N*，当n>N时，
|n/[3^（1/2）]^n|
<|n/[n（n-1）λ^2/2]|
=1/|[（n-1）λ^2/2]|
=2/[（n-1）[3^（1/2）-1]^2]
<ε^（1/2)，
取N=【2/[ε^（1/2)[3^（1/2）-1]^2]+1】即可，于是，lim n/[3^（1/2）]^n=0.
再证lim n^2/3^n=0——
由a：对任意ε>0，存在N∈N*，当n>N时，|n^2/3^n|=|n/[3^（1/2）]^n|^2<ε，取N=【2/[ε^（1/2)[3^（1/2）-1]^2]+1】即可，于是，lim n^2/3^n=0.
解析几何——
例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——
在平行六面体ABCD-EFGH中，设AB=e1，AD=e2，AE=e3，三个面上对角线向量设为AC=p，AH=q，AF=r，试把向量a=λp+μq+νr写成e1，e2，e3的线性组合。
解：
AC=AB+AD=e1+e2=p，AH=AD+AE=e2+e3=q，AB+AE=e1+e3=r；
a=λp+μq+νr=λ（e1+e2）+μ（e2+e3）+ν（e1+e3）=（λ+ν）e1+（λ+μ）e2+（μ+ν）e3.
高等代数——
例题（来自《大学教材全解 高等代数（北大第三版）（总策划：薛金星 主编：刘建波）》）——
证明：对于任意额正整数n，都存在多项式f（x），使得
（x-1）^n|f（x）+1，（x+1）^n|f（x）-1.
证：存在性证明，在于找到/构造一个符合或者不符合条件的例子，只要找到/构造一个符合条件的f（x）即可——
由预备定理2易得：（-1/2）（x-1）+（1/2）（x+1）=1，等价于，（x-1，x+1）=1；
由预备定理3易得：（（x-1）^n，（x+1）^n）=1，等价于，
存在多项式u（x），v（x），使得u（x）（x-1）^n+v（x）（x+1）^n=1，等价于
2u（x）（x-1）^n+2v（x）（x+1）^n=2，等价于
2u（x）（x-1）^n-1=1-2v（x）（x+1）^n；
令f（x）=2u（x）（x-1）^n-1=1-2v（x）（x+1）^n，
所以f（x）+1=2u（x）（x-1）^n，即（x-1）^n|f（x）+1，同理，（x+1）^n|f（x）-1.
