关于覆盖维数的进一步讨论

设A=【As；s∈S】是集合X的一个覆盖。A的一个收缩是指X的满足下面条件的覆盖B=【Bs；s∈S】；对任意的s∈S，Bs⊂As。

进一步，给出下面的定义

定义   设A=【As；s∈S】是集合X的一个子集族。A的一个膨胀是指X的一个满足下面条件的子集族B=【Bs；s∈S】；

i  对任意的s∈S，As ⊂Bs；

ii  对S的任意有限子族S0，有 s∈S0∩As=Φ当且仅当s∈S0∩Bs=Φ 

(2) 设A是X的子集族，如果对任意的x∈X ，集合【A∈A；x∈A】是有限的，那么，我们称A是点有限的子集族。

引理  设X是正规空间，则

（1）对X的任意点有限的开覆盖U=【Us；s∈S】存在一个开收缩ν=【νs；s∈S】满足条件；对任意的s∈S，clνs⊂Us

（2）对X的任意有限闭集族F=【Fi；i=1，…，K】及开集族U=【Ui；i=1，…，K】若对任意的i≤K，Fi⊂Ui，则存在一个开集族ν=【νi；i=1,…，K】使得Fi⊂νi⊂clνi⊂Ui且【clνi；i=1,…，K】是F的一个膨胀。