最新奥林匹克数学竞赛预赛(东莞)试题T9的第N个解法

拉格朗日乘数法求解：

设

对Q(a,b,c,d,λ)微分（求偏导），得到

令

得到

以及

⑵整理可以得到

(8a3+8b3+1-512a3b3)(a-b)=0……⑶，(8a3+8c3+1-512a3c3)(a-c)=0……⑷，(8a3+8d3+1-512a3d3)(a-d)=0……⑸，(8b3+8c3+1-512b3c3)(b-c)=0……⑹，

(8b3+8d3+1-512b3d3)(b-d)=0……⑺，(8c3+8d3+1-512c3d3)(c-d)=0……⑻。

考虑到a,b,c,d的轮换对称性，上述六个方程的解讨论如下——

①

此时

②a,b,c,d四个数中有三个数是相等的，不妨设a=b且8a3+8c3+1-512a3c3=0（a≠c）→8b3+8c3+1-512b3c3=0（b≠c）。再令a=d→a=b=d且8c3+8d3+1-512c3d3=0（c≠d）

但

矛盾！

③a,b,c,d四个数中有两个数是相等的，依旧设a=b……⑼且8a3+8c3+1-512a3c3=0（a≠c）→8b3+8c3+1-512b3c3=0（b≠c）……⑽。再令8a3+8d3+1-512a3d3=0（a≠d）……⑾，⑽⑾相减并联立⑼，整理得(c-d)(64a3-1)=0。若64a3-1=0，则

代入⑽得到

矛盾！

还是与

矛盾！

（当且仅当

取等号）