二次曲线妙解一道清华强基不等式

昨天up主收到一位小伙伴的私信，问了up主这样一道题目，据说是2022年的清华强基的试题

已知实数x，y 满足 x²+y²+xy=3，求x²+y²-xy的取值范围

没做过的小伙伴可以先做一下 看到这个方程， Up主第一时间想到的就是一个椭圆呐 高中我们对于二次方程的理解仅局限于标准式

对于任意二次方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

（A B C不同时为0），其图像均表示圆锥曲线（或退化圆锥曲线）

我们可以将其化简为标准形式，先旋转消去xy项，再通过平移消去一次项，如何操作可见up以前的专栏 【【方程图象】理解图象变换本质，图象变换与反函数之间不可告人的关系（高一生瞎搞）-哔哩哔哩】 https://b23.tv/YSRrq9L

以下是具体过程

使坐标轴旋转θ角，这时

x=x′cosθ−y′sinθ

y=x′sinθ+y′cosθ

A′x′²+B′x′y′+C′y′²+D′x′+E′y′+F=0

A′=Acos²θ+Bsinθcosθ+Csin²θ,

B′=−2Asinθcosθ+Bcos²θ−Bsin²θ+2Csinθcosθ,

C′=Asin²θ−Bsinθcosθ+Ccos²θ,

D′=Dcosθ+Esinθ,

E′=−Dsinθ+Ecosθ

为了使B′=0,即

-2Asinθcosθ+B(cos²θ—sin²θ)+2Csinθcosθ=0,也就是使

Bcos2θ=(A-C)sin2θ,

只要取θ满足下式就可以了：

tanθ=B/（A-C）

取满足公式的角θ，作旋转变换，就可以使方程中没有x′y′项.

并且我们还可以知道旋转角度

回到原题，本题中的椭圆x²+y²+xy=3，代入上式，可知tan2θ趋于无穷大，故原方程表示一个向左上倾斜45度的椭圆

同理x²+y²-xy表示一个向右上倾斜45度的椭圆，由题意知这两个椭圆有交点

那么临界情况就是一个椭圆的长轴等于另一个椭圆的短轴

我们用a表示半长轴，b表示半短轴

由于椭圆倾斜45度

将y₁=x₁和y₂=-x₂代入得x₁²=1，x₂²=3，所以椭圆的b²/a²=1/3

所以最终的答案就是[3×1/3，3/（1/3）]，也即[3,9]，这与标准答案是一致的