题目:如图1,在△ABC中,AB>AC,△ABC内两点X,Y均在∠BAC的平分线上,且满足∠ABX=∠ACY.设BX的延长线与线段CY交于点P,△BPY的外接圆与△CPX的外接圆交于另一点Q.

求证:A,P,Q三点共线.

思考过程:注意到P,Q为两圆根轴,我们可以考虑证明A在两圆根轴上.

因此,我们可以证明A对两圆等幂,

为了求出A对两圆的幂,延长AY交△CPX的外接圆于M,交△BPY的外接圆于N(如图2)

即证AY*AN=AX*AM.③

接下来,我们就围绕着这几条边来倒边.

由切割弦定理,我们可以得到AY*AN=AG*AB①

易证△ABX与△ACY相似,根据相似比,可以得到

AB/AX=AC/AY②

联立①②③

可以推出我们只需要证明AB/AN=AC/AM.

注意到这是△ABN与△ACM的对应边比,因此连接QN,BN(如图3)

我们只需要证明△ABN与△ACM相似.

由∠BNY=∠BPY=∠XMC和AY角平分线可以得到相似,命题得证.

下面,给出证明过程.

由切割弦定理,AY*AN=AG*AB①

∵AY是角平分线

∴∠BAN=∠YAC

又∵∠ABX=∠ACY

∴△ABX∽△ACY

∴AB/AX=AC/AY②

又∵∠BNY=∠BPY=∠XMC

∴△ABN∽△ACM

∴AB/AN=AC/AM③

联立①②③得

AY*AN=AX*AM

即A对两圆等幂,A在两圆根轴PQ上.

∴A,P,Q三点共线.

证毕

函数图像网址:https://www.desmos.com/geometry-beta/mzfjcnxzhv?lang=zh-CN

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